Ejercicio resuelto de Función inversa · Matemáticas 4 ESO

Calcule la inversa de las funciones:

a) $f(x)={\displaystyle \frac{3x+2}{1-x}}$
b) $f(x)=\sqrt{2x+3}$
c) $f(x)={\displaystyle \frac{2x+1}{x+3}}$
d) $f(x)={\displaystyle \frac{x+5}{2x-2}}$
e) $f(x)={\displaystyle \frac{x-1}{x+2}}$
f) $f(x)={\displaystyle \frac{2x+1}{x-1}}$
g) $f(x)={\displaystyle \frac{x-4}{3x-5}}$
h) $f(x)={\displaystyle \frac{2x-1}{2x-3}}$

$\mathbf{\text{a)}}$ Escribimos y en lugar de f(x):
$y={\displaystyle \frac{3x+2}{1-x}}$
Multiplicamos los dos miembros por el denominador:
$y(1-x)=3x+2$
Quitamos el paréntesis:
$y-xy=3x+2$
Pasamos los términos con x al segundo miembro (que es donde su coeficiente queda positivo) y los demás al primero:
$y-2=3x+xy$
Sacamos factor común x:
$\boxed{{\displaystyle mx+nx=(m+n)x}}$
$y-2=x(y+3)$
Dividimos por el coeficiente de x:
$x={\displaystyle \frac{y-2}{y+3}}$
Ya está la x despejada en función de y. La inversa deshace lo que hace f, así que solo queda intercambiar los nombres de las dos variables:
$\boxed{{\displaystyle y=f(x)⟺x=f^{-1}(y)}}$
$f^{-1}(x)={\displaystyle \frac{x-2}{x+3}}$
Comprobamos que al meter la inversa dentro de f se vuelve a la x. Para quitar las fracciones de dos pisos, multiplicamos el numerador y el denominador por $x+3$:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle f(f^{-1}(x))}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3\cdot {\displaystyle \frac{x-2}{x+3}}+2}{1-{\displaystyle \frac{x-2}{x+3}}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3(x-2)+2(x+3)}{(x+3)-(x-2)}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{5x}{5}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x}\end{array}$


$\mathbf{\text{b)}}$ Escribimos y en lugar de f(x):
$y=\sqrt{2x+3}$
Para deshacer una raíz cuadrada elevamos al cuadrado los dos miembros. Una raíz cuadrada nunca es negativa, así que esto solo vale para los valores de y mayores o iguales que cero: nos quedamos con esa rama.
$\boxed{{\displaystyle y=\sqrt{u}⟺u=y^2}}$
$y^2=2x+3$
Despejamos la x:
$2x=y^2-3$
$x={\displaystyle \frac{y^2-3}{2}}$
Ya está la x despejada en función de y. La inversa deshace lo que hace f, así que solo queda intercambiar los nombres de las dos variables:
$\boxed{{\displaystyle y=f(x)⟺x=f^{-1}(y)}}$
$f^{-1}(x)={\displaystyle \frac{x^2-3}{2}}$
Comprobamos que al meter la inversa dentro de f se vuelve a la x:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle f(f^{-1}(x))}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sqrt{2\cdot {\displaystyle \frac{x^2-3}{2}}+3}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sqrt{x^2-3+3}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sqrt{x^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mid x\mid }\end{array}$
La condición de antes (y mayor o igual que cero) es ahora la condición sobre la x: el dominio de la inversa es el recorrido de f, los números mayores o iguales que cero. Como x no es negativa, ese valor absoluto es la propia x.


$\mathbf{\text{c)}}$ Escribimos y en lugar de f(x):
$y={\displaystyle \frac{2x+1}{x+3}}$
Multiplicamos los dos miembros por el denominador:
$y(x+3)=2x+1$
Quitamos el paréntesis:
$xy+3y=2x+1$
Pasamos los términos con x al primer miembro (que es donde su coeficiente queda positivo) y los demás al segundo:
$xy-2x=1-3y$
Sacamos factor común x:
$\boxed{{\displaystyle mx+nx=(m+n)x}}$
$x(y-2)=1-3y$
Dividimos por el coeficiente de x:
$x={\displaystyle \frac{1-3y}{y-2}}$
Ya está la x despejada en función de y. La inversa deshace lo que hace f, así que solo queda intercambiar los nombres de las dos variables:
$\boxed{{\displaystyle y=f(x)⟺x=f^{-1}(y)}}$
$f^{-1}(x)={\displaystyle \frac{1-3x}{x-2}}$
Comprobamos que al meter la inversa dentro de f se vuelve a la x. Para quitar las fracciones de dos pisos, multiplicamos el numerador y el denominador por $x-2$:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle f(f^{-1}(x))}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2\cdot {\displaystyle \frac{1-3x}{x-2}}+1}{{\displaystyle \frac{1-3x}{x-2}}+3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2(1-3x)+(x-2)}{(1-3x)+3(x-2)}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{-5x}{-5}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x}\end{array}$


$\mathbf{\text{d)}}$ Escribimos y en lugar de f(x):
$y={\displaystyle \frac{x+5}{2x-2}}$
Multiplicamos los dos miembros por el denominador:
$y(2x-2)=x+5$
Quitamos el paréntesis:
$2xy-2y=x+5$
Pasamos los términos con x al primer miembro (que es donde su coeficiente queda positivo) y los demás al segundo:
$2xy-x=2y+5$
Sacamos factor común x:
$\boxed{{\displaystyle mx+nx=(m+n)x}}$
$x(2y-1)=2y+5$
Dividimos por el coeficiente de x:
$x={\displaystyle \frac{2y+5}{2y-1}}$
Ya está la x despejada en función de y. La inversa deshace lo que hace f, así que solo queda intercambiar los nombres de las dos variables:
$\boxed{{\displaystyle y=f(x)⟺x=f^{-1}(y)}}$
$f^{-1}(x)={\displaystyle \frac{2x+5}{2x-1}}$
Comprobamos que al meter la inversa dentro de f se vuelve a la x. Para quitar las fracciones de dos pisos, multiplicamos el numerador y el denominador por $2x-1$:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle f(f^{-1}(x))}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2x+5}{2x-1}}+5}{2\cdot {\displaystyle \frac{2x+5}{2x-1}}-2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(2x+5)+5(2x-1)}{2(2x+5)-2(2x-1)}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{12x}{12}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x}\end{array}$


$\mathbf{\text{e)}}$ Escribimos y en lugar de f(x):
$y={\displaystyle \frac{x-1}{x+2}}$
Multiplicamos los dos miembros por el denominador:
$y(x+2)=x-1$
Quitamos el paréntesis:
$xy+2y=x-1$
Pasamos los términos con x al primer miembro (que es donde su coeficiente queda positivo) y los demás al segundo:
$xy-x=-2y-1$
Sacamos factor común x:
$\boxed{{\displaystyle mx+nx=(m+n)x}}$
$x(y-1)=-2y-1$
Dividimos por el coeficiente de x:
$x={\displaystyle \frac{-2y-1}{y-1}}$
Cambiamos de signo el numerador y el denominador, que es la misma fracción y se lee mejor:
$x={\displaystyle \frac{2y+1}{1-y}}$
Ya está la x despejada en función de y. La inversa deshace lo que hace f, así que solo queda intercambiar los nombres de las dos variables:
$\boxed{{\displaystyle y=f(x)⟺x=f^{-1}(y)}}$
$f^{-1}(x)={\displaystyle \frac{2x+1}{1-x}}$
Comprobamos que al meter la inversa dentro de f se vuelve a la x. Para quitar las fracciones de dos pisos, multiplicamos el numerador y el denominador por $1-x$:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle f(f^{-1}(x))}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2x+1}{1-x}}-1}{{\displaystyle \frac{2x+1}{1-x}}+2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(2x+1)-(1-x)}{(2x+1)+2(1-x)}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3x}{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x}\end{array}$


$\mathbf{\text{f)}}$ Escribimos y en lugar de f(x):
$y={\displaystyle \frac{2x+1}{x-1}}$
Multiplicamos los dos miembros por el denominador:
$y(x-1)=2x+1$
Quitamos el paréntesis:
$xy-y=2x+1$
Pasamos los términos con x al primer miembro (que es donde su coeficiente queda positivo) y los demás al segundo:
$xy-2x=y+1$
Sacamos factor común x:
$\boxed{{\displaystyle mx+nx=(m+n)x}}$
$x(y-2)=y+1$
Dividimos por el coeficiente de x:
$x={\displaystyle \frac{y+1}{y-2}}$
Ya está la x despejada en función de y. La inversa deshace lo que hace f, así que solo queda intercambiar los nombres de las dos variables:
$\boxed{{\displaystyle y=f(x)⟺x=f^{-1}(y)}}$
$f^{-1}(x)={\displaystyle \frac{x+1}{x-2}}$
Comprobamos que al meter la inversa dentro de f se vuelve a la x. Para quitar las fracciones de dos pisos, multiplicamos el numerador y el denominador por $x-2$:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle f(f^{-1}(x))}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2\cdot {\displaystyle \frac{x+1}{x-2}}+1}{{\displaystyle \frac{x+1}{x-2}}-1}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2(x+1)+(x-2)}{(x+1)-(x-2)}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3x}{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x}\end{array}$


$\mathbf{\text{g)}}$ Escribimos y en lugar de f(x):
$y={\displaystyle \frac{x-4}{3x-5}}$
Multiplicamos los dos miembros por el denominador:
$y(3x-5)=x-4$
Quitamos el paréntesis:
$3xy-5y=x-4$
Pasamos los términos con x al primer miembro (que es donde su coeficiente queda positivo) y los demás al segundo:
$3xy-x=5y-4$
Sacamos factor común x:
$\boxed{{\displaystyle mx+nx=(m+n)x}}$
$x(3y-1)=5y-4$
Dividimos por el coeficiente de x:
$x={\displaystyle \frac{5y-4}{3y-1}}$
Ya está la x despejada en función de y. La inversa deshace lo que hace f, así que solo queda intercambiar los nombres de las dos variables:
$\boxed{{\displaystyle y=f(x)⟺x=f^{-1}(y)}}$
$f^{-1}(x)={\displaystyle \frac{5x-4}{3x-1}}$
Comprobamos que al meter la inversa dentro de f se vuelve a la x. Para quitar las fracciones de dos pisos, multiplicamos el numerador y el denominador por $3x-1$:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle f(f^{-1}(x))}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{5x-4}{3x-1}}-4}{3\cdot {\displaystyle \frac{5x-4}{3x-1}}-5}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(5x-4)-4(3x-1)}{3(5x-4)-5(3x-1)}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{-7x}{-7}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x}\end{array}$


$\mathbf{\text{h)}}$ Escribimos y en lugar de f(x):
$y={\displaystyle \frac{2x-1}{2x-3}}$
Multiplicamos los dos miembros por el denominador:
$y(2x-3)=2x-1$
Quitamos el paréntesis:
$2xy-3y=2x-1$
Pasamos los términos con x al primer miembro (que es donde su coeficiente queda positivo) y los demás al segundo:
$2xy-2x=3y-1$
Sacamos factor común x:
$\boxed{{\displaystyle mx+nx=(m+n)x}}$
$x(2y-2)=3y-1$
Dividimos por el coeficiente de x:
$x={\displaystyle \frac{3y-1}{2y-2}}$
Ya está la x despejada en función de y. La inversa deshace lo que hace f, así que solo queda intercambiar los nombres de las dos variables:
$\boxed{{\displaystyle y=f(x)⟺x=f^{-1}(y)}}$
$f^{-1}(x)={\displaystyle \frac{3x-1}{2x-2}}$
Comprobamos que al meter la inversa dentro de f se vuelve a la x. Para quitar las fracciones de dos pisos, multiplicamos el numerador y el denominador por $2x-2$:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle f(f^{-1}(x))}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2\cdot {\displaystyle \frac{3x-1}{2x-2}}-1}{2\cdot {\displaystyle \frac{3x-1}{2x-2}}-3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2(3x-1)-(2x-2)}{2(3x-1)-3(2x-2)}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4x}{4}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x}\end{array}$