Ejercicio resuelto de Función inversa · Matemáticas 4 ESO

Encuentre la función inversa de las siguientes funciones. Asuma que las funciones están bien definidas en el conjunto de los números reales.

[Nota: las funciones de los apartados a), b) y c) llevan la $x$ al cuadrado, así que toman el mismo valor en $x$ y en $-x$ y no tienen inversa en todo $\mathbb{R}$. En esos tres se restringe el dominio a $x\ge 0$, y se dice en la solución.]

a) $f(x)=4x^2+1$
b) $f(x)=-8x^2+7$
c) $k(x)=9-x^2$
d) $f(x)=8-5x^3$
e) $h(x)=10x^3+6$

$\mathbf{\text{a)}}$ Antes de despejar hay que mirar una cosa. Esta función lleva la $x$ al cuadrado, y un número y su opuesto tienen el mismo cuadrado, así que toma el mismo valor en dos puntos distintos:
$f(2)=f(-2)=17$
Con dos entradas que dan la misma salida no hay forma de volver atrás, así que la función no tiene inversa en todo $\mathbb{R}$. Nos quedamos con el trozo $x\ge 0$, donde ya no repite ningún valor: ese trozo sí la tiene.
Llamamos $y$ al valor que devuelve la función:
$y=4x^2+1$
El término independiente es $1$. Lo pasamos al otro lado:
$y-1=4x^2$
Y pasamos el $4$ al otro lado dividiendo:
$x^2={\displaystyle \frac{y-1}{4}}$
Para deshacer el cuadrado hay que tomar la raíz cuadrada, y como nos hemos quedado con $x\ge 0$ vale la raíz positiva:
$\boxed{{\displaystyle A^2=B⟺A=\sqrt{B}(A\ge 0)}}$
$x=\sqrt{{\displaystyle \frac{y-1}{4}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{y-1}}{2}}$
Ya está la $x$ despejada. Ahora intercambiamos los nombres de las dos variables: donde ponía $y$ escribimos $x$, y al revés. Es lo que dice la definición de función inversa:
$\boxed{{\displaystyle y=f(x)⟺x=f^{-1}(y)}}$
$y={\displaystyle \frac{\sqrt{x-1}}{2}}$
Y esa es la función inversa:
$f^{-1}(x)={\displaystyle \frac{\sqrt{x-1}}{2}}$
La inversa solo tiene sentido donde la función de partida toma valores, así que su dominio es $x\ge 1$.
Comprobamos: al meter en la función lo que devuelve su inversa tiene que salir la $x$ de partida.
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle f(f^{-1}(x))=4\cdot {\left({\displaystyle \frac{\sqrt{x-1}}{2}}\right)}^2+1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4\cdot {\displaystyle \frac{x-1}{4}}+1=x-1+1=x}\end{array}$


$\mathbf{\text{b)}}$ Antes de despejar hay que mirar una cosa. Esta función lleva la $x$ al cuadrado, y un número y su opuesto tienen el mismo cuadrado, así que toma el mismo valor en dos puntos distintos:
$f(1)=f(-1)=-1$
Con dos entradas que dan la misma salida no hay forma de volver atrás, así que la función no tiene inversa en todo $\mathbb{R}$. Nos quedamos con el trozo $x\ge 0$, donde ya no repite ningún valor: ese trozo sí la tiene.
Llamamos $y$ al valor que devuelve la función:
$y=-8x^2+7$
El término independiente es $7$. Lo pasamos al otro lado:
$y-7=-8x^2$
Y pasamos el $-8$ dividiendo, ordenando el numerador:
$x^2={\displaystyle \frac{y-7}{-8}}={\displaystyle \frac{7-y}{8}}$
Para deshacer el cuadrado hay que tomar la raíz cuadrada, y como nos hemos quedado con $x\ge 0$ vale la raíz positiva:
$\boxed{{\displaystyle A^2=B⟺A=\sqrt{B}(A\ge 0)}}$
$x=\sqrt{{\displaystyle \frac{7-y}{8}}}$
Ya está la $x$ despejada. Ahora intercambiamos los nombres de las dos variables: donde ponía $y$ escribimos $x$, y al revés. Es lo que dice la definición de función inversa:
$\boxed{{\displaystyle y=f(x)⟺x=f^{-1}(y)}}$
$y=\sqrt{{\displaystyle \frac{7-x}{8}}}$
Y esa es la función inversa:
$f^{-1}(x)=\sqrt{{\displaystyle \frac{7-x}{8}}}$
La inversa solo tiene sentido donde la función de partida toma valores, así que su dominio es $x\le 7$.
Comprobamos: al meter en la función lo que devuelve su inversa tiene que salir la $x$ de partida.
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle f(f^{-1}(x))=-8\cdot {\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{7-x}{8}}}\right)}^2+7}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-8\cdot {\displaystyle \frac{7-x}{8}}+7=-(7-x)+7}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x-7+7=x}\end{array}$


$\mathbf{\text{c)}}$ Antes de despejar hay que mirar una cosa. Esta función lleva la $x$ al cuadrado, y un número y su opuesto tienen el mismo cuadrado, así que toma el mismo valor en dos puntos distintos:
$k(1)=k(-1)=8$
Con dos entradas que dan la misma salida no hay forma de volver atrás, así que la función no tiene inversa en todo $\mathbb{R}$. Nos quedamos con el trozo $x\ge 0$, donde ya no repite ningún valor: ese trozo sí la tiene.
Llamamos $y$ al valor que devuelve la función:
$y=9-x^2$
El término independiente es $9$. Lo pasamos al otro lado:
$y-9=-x^2$
La potencia lleva un signo menos delante: cambiamos de signo los dos lados:
$x^2=9-y$
Para deshacer el cuadrado hay que tomar la raíz cuadrada, y como nos hemos quedado con $x\ge 0$ vale la raíz positiva:
$\boxed{{\displaystyle A^2=B⟺A=\sqrt{B}(A\ge 0)}}$
$x=\sqrt{9-y}$
Ya está la $x$ despejada. Ahora intercambiamos los nombres de las dos variables: donde ponía $y$ escribimos $x$, y al revés. Es lo que dice la definición de función inversa:
$\boxed{{\displaystyle y=k(x)⟺x=k^{-1}(y)}}$
$y=\sqrt{9-x}$
Y esa es la función inversa:
$k^{-1}(x)=\sqrt{9-x}$
La inversa solo tiene sentido donde la función de partida toma valores, así que su dominio es $x\le 9$.
Comprobamos: al meter en la función lo que devuelve su inversa tiene que salir la $x$ de partida.
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle k(k^{-1}(x))=-{\left(\sqrt{9-x}\right)}^2+9}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-(9-x)+9=x-9+9=x}\end{array}$


$\mathbf{\text{d)}}$ Aquí la $x$ va al cubo, y el cubo no repite valores: dos números distintos tienen cubos distintos. Esta función sí tiene inversa en todo $\mathbb{R}$, y no hay nada que restringir.
Llamamos $y$ al valor que devuelve la función:
$y=8-5x^3$
El término independiente es $8$. Lo pasamos al otro lado:
$y-8=-5x^3$
Y pasamos el $-5$ dividiendo, ordenando el numerador:
$x^3={\displaystyle \frac{y-8}{-5}}={\displaystyle \frac{8-y}{5}}$
Para deshacer el cubo hay que tomar la raíz cúbica:
$\boxed{{\displaystyle A^3=B⟺A=\sqrt[3]{B}}}$
$x=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{8-y}{5}}}$
Ya está la $x$ despejada. Ahora intercambiamos los nombres de las dos variables: donde ponía $y$ escribimos $x$, y al revés. Es lo que dice la definición de función inversa:
$\boxed{{\displaystyle y=f(x)⟺x=f^{-1}(y)}}$
$y=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{8-x}{5}}}$
Y esa es la función inversa:
$f^{-1}(x)=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{8-x}{5}}}$
Comprobamos: al meter en la función lo que devuelve su inversa tiene que salir la $x$ de partida.
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle f(f^{-1}(x))}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-5\cdot {\left(\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{8-x}{5}}}\right)}^3+8}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-5\cdot {\displaystyle \frac{8-x}{5}}+8=-(8-x)+8}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x-8+8=x}\end{array}$


$\mathbf{\text{e)}}$ Aquí la $x$ va al cubo, y el cubo no repite valores: dos números distintos tienen cubos distintos. Esta función sí tiene inversa en todo $\mathbb{R}$, y no hay nada que restringir.
Llamamos $y$ al valor que devuelve la función:
$y=10x^3+6$
El término independiente es $6$. Lo pasamos al otro lado:
$y-6=10x^3$
Y pasamos el $10$ al otro lado dividiendo:
$x^3={\displaystyle \frac{y-6}{10}}$
Para deshacer el cubo hay que tomar la raíz cúbica:
$\boxed{{\displaystyle A^3=B⟺A=\sqrt[3]{B}}}$
$x=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{y-6}{10}}}$
Ya está la $x$ despejada. Ahora intercambiamos los nombres de las dos variables: donde ponía $y$ escribimos $x$, y al revés. Es lo que dice la definición de función inversa:
$\boxed{{\displaystyle y=h(x)⟺x=h^{-1}(y)}}$
$y=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{x-6}{10}}}$
Y esa es la función inversa:
$h^{-1}(x)=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{x-6}{10}}}$
Comprobamos: al meter en la función lo que devuelve su inversa tiene que salir la $x$ de partida.
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle h(h^{-1}(x))}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =10\cdot {\left(\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{x-6}{10}}}\right)}^3+6}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =10\cdot {\displaystyle \frac{x-6}{10}}+6=x-6+6=x}\end{array}$