Ejercicio resuelto de Función inversa · Matemáticas 4 ESO

Encuentre la función inversa de las siguientes funciones. Asuma que las funciones están bien definidas en el conjunto de los números reales.

[Nota: ninguna de estas funciones está definida en el valor de $x$ que anula su denominador, así que su dominio no es todo $\mathbb{R}$; a la inversa le pasa lo mismo con el suyo. Se indica en cada apartado.]

a) $h(x)={\displaystyle \frac{7}{x-9}}$
b) $g(x)={\displaystyle \frac{1}{x-4}}$
c) $f(x)={\displaystyle \frac{2}{x+4}}$
d) $h(x)={\displaystyle \frac{x+6}{x+2}}$
e) $h(x)={\displaystyle \frac{x-5}{x+16}}$
f) $h(x)={\displaystyle \frac{x+10}{x-3}}$

$\mathbf{\text{a)}}$ Esta función no está definida donde se anula el denominador, así que su dominio no es todo $\mathbb{R}$: hace falta $x\mathrm{\ne }9$.
Llamamos $y$ al valor que devuelve la función:
$y={\displaystyle \frac{7}{x-9}}$
Multiplicamos en cruz para quitar el denominador:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{A}{B}}=C⟺A=B\cdot C}}$
$y(x-9)=7$
Quitamos el paréntesis repartiendo la $y$:
$xy-9y=7$
Ahora agrupamos: a la izquierda todo lo que lleva $x$ y a la derecha lo demás:
$xy=7+9y$
Aquí solo hay un término con $x$, así que no hay nada que sacar como factor común: basta con dividir entre $y$.
$x={\displaystyle \frac{7+9y}{y}}$
Ya está la $x$ despejada. Ahora intercambiamos los nombres de las dos variables: donde ponía $y$ escribimos $x$, y al revés. Es lo que dice la definición de función inversa:
$\boxed{{\displaystyle y=h(x)⟺x=h^{-1}(y)}}$
$y={\displaystyle \frac{7+9x}{x}}$
Y esa es la función inversa:
$h^{-1}(x)={\displaystyle \frac{7+9x}{x}}$
La inversa tampoco está definida donde se anula su denominador: $x\mathrm{\ne }0$.
Comprobamos: al meter en la función lo que devuelve su inversa tiene que salir la $x$ de partida.
El denominador de la fracción vale
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle h^{-1}(x)-9={\displaystyle \frac{7+9x}{x}}-9}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{7+9x-9x}{x}}={\displaystyle \frac{7}{x}}}\end{array}$
y dividir $7$ entre esa fracción es multiplicarlo por la fracción del revés:
$h(h^{-1}(x))=7\cdot {\displaystyle \frac{x}{7}}=x$


$\mathbf{\text{b)}}$ Esta función no está definida donde se anula el denominador, así que su dominio no es todo $\mathbb{R}$: hace falta $x\mathrm{\ne }4$.
Llamamos $y$ al valor que devuelve la función:
$y={\displaystyle \frac{1}{x-4}}$
Multiplicamos en cruz para quitar el denominador:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{A}{B}}=C⟺A=B\cdot C}}$
$y(x-4)=1$
Quitamos el paréntesis repartiendo la $y$:
$xy-4y=1$
Ahora agrupamos: a la izquierda todo lo que lleva $x$ y a la derecha lo demás:
$xy=1+4y$
Aquí solo hay un término con $x$, así que no hay nada que sacar como factor común: basta con dividir entre $y$.
$x={\displaystyle \frac{1+4y}{y}}$
Ya está la $x$ despejada. Ahora intercambiamos los nombres de las dos variables: donde ponía $y$ escribimos $x$, y al revés. Es lo que dice la definición de función inversa:
$\boxed{{\displaystyle y=g(x)⟺x=g^{-1}(y)}}$
$y={\displaystyle \frac{1+4x}{x}}$
Y esa es la función inversa:
$g^{-1}(x)={\displaystyle \frac{1+4x}{x}}$
La inversa tampoco está definida donde se anula su denominador: $x\mathrm{\ne }0$.
Comprobamos: al meter en la función lo que devuelve su inversa tiene que salir la $x$ de partida.
El denominador de la fracción vale
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle g^{-1}(x)-4={\displaystyle \frac{1+4x}{x}}-4}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1+4x-4x}{x}}={\displaystyle \frac{1}{x}}}\end{array}$
y dividir $1$ entre esa fracción es multiplicarlo por la fracción del revés:
$g(g^{-1}(x))=x$


$\mathbf{\text{c)}}$ Esta función no está definida donde se anula el denominador, así que su dominio no es todo $\mathbb{R}$: hace falta $x\mathrm{\ne }-4$.
Llamamos $y$ al valor que devuelve la función:
$y={\displaystyle \frac{2}{x+4}}$
Multiplicamos en cruz para quitar el denominador:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{A}{B}}=C⟺A=B\cdot C}}$
$y(x+4)=2$
Quitamos el paréntesis repartiendo la $y$:
$xy+4y=2$
Ahora agrupamos: a la izquierda todo lo que lleva $x$ y a la derecha lo demás:
$xy=2-4y$
Aquí solo hay un término con $x$, así que no hay nada que sacar como factor común: basta con dividir entre $y$.
$x={\displaystyle \frac{2-4y}{y}}$
Ya está la $x$ despejada. Ahora intercambiamos los nombres de las dos variables: donde ponía $y$ escribimos $x$, y al revés. Es lo que dice la definición de función inversa:
$\boxed{{\displaystyle y=f(x)⟺x=f^{-1}(y)}}$
$y={\displaystyle \frac{2-4x}{x}}$
Y esa es la función inversa:
$f^{-1}(x)={\displaystyle \frac{2-4x}{x}}$
La inversa tampoco está definida donde se anula su denominador: $x\mathrm{\ne }0$.
Comprobamos: al meter en la función lo que devuelve su inversa tiene que salir la $x$ de partida.
El denominador de la fracción vale
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle f^{-1}(x)+4={\displaystyle \frac{2-4x}{x}}+4}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2-4x+4x}{x}}={\displaystyle \frac{2}{x}}}\end{array}$
y dividir $2$ entre esa fracción es multiplicarlo por la fracción del revés:
$f(f^{-1}(x))=2\cdot {\displaystyle \frac{x}{2}}=x$


$\mathbf{\text{d)}}$ Esta función no está definida donde se anula el denominador, así que su dominio no es todo $\mathbb{R}$: hace falta $x\mathrm{\ne }-2$.
Llamamos $y$ al valor que devuelve la función:
$y={\displaystyle \frac{x+6}{x+2}}$
Multiplicamos en cruz para quitar el denominador:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{A}{B}}=C⟺A=B\cdot C}}$
$y(x+2)=x+6$
Quitamos el paréntesis repartiendo la $y$:
$xy+2y=x+6$
Ahora agrupamos: a la izquierda todo lo que lleva $x$ y a la derecha lo demás:
$xy-x=6-2y$
A la izquierda hay dos términos con $x$: sacamos $x$ como factor común, que es el paso que de verdad cuesta aquí.
$\boxed{{\displaystyle Ax-Bx=(A-B)x}}$
$x(y-1)=6-2y$
Y dividimos entre $y-1$:
$x={\displaystyle \frac{6-2y}{y-1}}$
Ya está la $x$ despejada. Ahora intercambiamos los nombres de las dos variables: donde ponía $y$ escribimos $x$, y al revés. Es lo que dice la definición de función inversa:
$\boxed{{\displaystyle y=h(x)⟺x=h^{-1}(y)}}$
$y={\displaystyle \frac{6-2x}{x-1}}$
Y esa es la función inversa:
$h^{-1}(x)={\displaystyle \frac{6-2x}{x-1}}$
La inversa tampoco está definida donde se anula su denominador: $x\mathrm{\ne }1$.
Comprobamos: al meter en la función lo que devuelve su inversa tiene que salir la $x$ de partida.
El numerador de la fracción vale
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle h^{-1}(x)+6={\displaystyle \frac{6-2x}{x-1}}+6}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{6-2x+6(x-1)}{x-1}}={\displaystyle \frac{4x}{x-1}}}\end{array}$
y el denominador,
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle h^{-1}(x)+2={\displaystyle \frac{6-2x}{x-1}}+2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{6-2x+2(x-1)}{x-1}}={\displaystyle \frac{4}{x-1}}}\end{array}$
Dividir una fracción entre otra es multiplicar la primera por la segunda del revés:
$h(h^{-1}(x))={\displaystyle \frac{4x}{x-1}}\cdot {\displaystyle \frac{x-1}{4}}=x$


$\mathbf{\text{e)}}$ Esta función no está definida donde se anula el denominador, así que su dominio no es todo $\mathbb{R}$: hace falta $x\mathrm{\ne }-16$.
Llamamos $y$ al valor que devuelve la función:
$y={\displaystyle \frac{x-5}{x+16}}$
Multiplicamos en cruz para quitar el denominador:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{A}{B}}=C⟺A=B\cdot C}}$
$y(x+16)=x-5$
Quitamos el paréntesis repartiendo la $y$:
$xy+16y=x-5$
Ahora agrupamos: a la izquierda todo lo que lleva $x$ y a la derecha lo demás:
$xy-x=-5-16y$
A la izquierda hay dos términos con $x$: sacamos $x$ como factor común, que es el paso que de verdad cuesta aquí.
$\boxed{{\displaystyle Ax-Bx=(A-B)x}}$
$x(y-1)=-5-16y$
Y dividimos entre $y-1$:
$x={\displaystyle \frac{-5-16y}{y-1}}$
Ya está la $x$ despejada. Ahora intercambiamos los nombres de las dos variables: donde ponía $y$ escribimos $x$, y al revés. Es lo que dice la definición de función inversa:
$\boxed{{\displaystyle y=h(x)⟺x=h^{-1}(y)}}$
$y={\displaystyle \frac{-5-16x}{x-1}}$
Y esa es la función inversa:
$h^{-1}(x)={\displaystyle \frac{-5-16x}{x-1}}$
La inversa tampoco está definida donde se anula su denominador: $x\mathrm{\ne }1$.
Comprobamos: al meter en la función lo que devuelve su inversa tiene que salir la $x$ de partida.
El numerador de la fracción vale
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle h^{-1}(x)-5={\displaystyle \frac{-5-16x}{x-1}}-5}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{-5-16x-5(x-1)}{x-1}}={\displaystyle \frac{-21x}{x-1}}}\end{array}$
y el denominador,
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle h^{-1}(x)+16={\displaystyle \frac{-5-16x}{x-1}}+16}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{-5-16x+16(x-1)}{x-1}}={\displaystyle \frac{-21}{x-1}}}\end{array}$
Dividir una fracción entre otra es multiplicar la primera por la segunda del revés:
$h(h^{-1}(x))={\displaystyle \frac{-21x}{x-1}}\cdot {\displaystyle \frac{x-1}{-21}}=x$


$\mathbf{\text{f)}}$ Esta función no está definida donde se anula el denominador, así que su dominio no es todo $\mathbb{R}$: hace falta $x\mathrm{\ne }3$.
Llamamos $y$ al valor que devuelve la función:
$y={\displaystyle \frac{x+10}{x-3}}$
Multiplicamos en cruz para quitar el denominador:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{A}{B}}=C⟺A=B\cdot C}}$
$y(x-3)=x+10$
Quitamos el paréntesis repartiendo la $y$:
$xy-3y=x+10$
Ahora agrupamos: a la izquierda todo lo que lleva $x$ y a la derecha lo demás:
$xy-x=10+3y$
A la izquierda hay dos términos con $x$: sacamos $x$ como factor común, que es el paso que de verdad cuesta aquí.
$\boxed{{\displaystyle Ax-Bx=(A-B)x}}$
$x(y-1)=10+3y$
Y dividimos entre $y-1$:
$x={\displaystyle \frac{10+3y}{y-1}}$
Ya está la $x$ despejada. Ahora intercambiamos los nombres de las dos variables: donde ponía $y$ escribimos $x$, y al revés. Es lo que dice la definición de función inversa:
$\boxed{{\displaystyle y=h(x)⟺x=h^{-1}(y)}}$
$y={\displaystyle \frac{10+3x}{x-1}}$
Y esa es la función inversa:
$h^{-1}(x)={\displaystyle \frac{10+3x}{x-1}}$
La inversa tampoco está definida donde se anula su denominador: $x\mathrm{\ne }1$.
Comprobamos: al meter en la función lo que devuelve su inversa tiene que salir la $x$ de partida.
El numerador de la fracción vale
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle h^{-1}(x)+10={\displaystyle \frac{10+3x}{x-1}}+10}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{10+3x+10(x-1)}{x-1}}={\displaystyle \frac{13x}{x-1}}}\end{array}$
y el denominador,
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle h^{-1}(x)-3={\displaystyle \frac{10+3x}{x-1}}-3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{10+3x-3(x-1)}{x-1}}={\displaystyle \frac{13}{x-1}}}\end{array}$
Dividir una fracción entre otra es multiplicar la primera por la segunda del revés:
$h(h^{-1}(x))={\displaystyle \frac{13x}{x-1}}\cdot {\displaystyle \frac{x-1}{13}}=x$