Ejercicio resuelto de Función inversa · Matemáticas 4 ESO

Encuentre la función inversa de las siguientes funciones. Asuma que las funciones están bien definidas en el conjunto de los números reales.

a) $f(x)=2-8x$
b) $g(x)=12-10x$
c) $f(x)=-x+25$
d) $f(x)=2+9x$
e) $f(x)=-17-6x$

$\mathbf{\text{a)}}$ Llamamos $y$ al valor que devuelve la función:
$y=2-8x$
El término independiente es $2$. Lo pasamos al otro lado restándolo en los dos miembros:
$y-2=-8x$
Ahora la $x$ está multiplicada por $-8$: pasamos ese número dividiendo y ordenamos el numerador:
$x={\displaystyle \frac{y-2}{-8}}={\displaystyle \frac{2-y}{8}}$
Ya está la $x$ despejada. Ahora intercambiamos los nombres de las dos variables: donde ponía $y$ escribimos $x$, y al revés. Es lo que dice la definición de función inversa:
$\boxed{{\displaystyle y=f(x)⟺x=f^{-1}(y)}}$
$y={\displaystyle \frac{2-x}{8}}$
Y esa es la función inversa:
$f^{-1}(x)={\displaystyle \frac{2-x}{8}}$
Comprobamos: al meter en la función lo que devuelve su inversa tiene que salir la $x$ de partida.
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle f(f^{-1}(x))=-8\cdot {\displaystyle \frac{2-x}{8}}+2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-(2-x)+2=x-2+2=x}\end{array}$


$\mathbf{\text{b)}}$ Llamamos $y$ al valor que devuelve la función:
$y=12-10x$
El término independiente es $12$. Lo pasamos al otro lado restándolo en los dos miembros:
$y-12=-10x$
Ahora la $x$ está multiplicada por $-10$: pasamos ese número dividiendo y ordenamos el numerador:
$x={\displaystyle \frac{y-12}{-10}}={\displaystyle \frac{12-y}{10}}$
Ya está la $x$ despejada. Ahora intercambiamos los nombres de las dos variables: donde ponía $y$ escribimos $x$, y al revés. Es lo que dice la definición de función inversa:
$\boxed{{\displaystyle y=g(x)⟺x=g^{-1}(y)}}$
$y={\displaystyle \frac{12-x}{10}}$
Y esa es la función inversa:
$g^{-1}(x)={\displaystyle \frac{12-x}{10}}$
Comprobamos: al meter en la función lo que devuelve su inversa tiene que salir la $x$ de partida.
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle g(g^{-1}(x))=-10\cdot {\displaystyle \frac{12-x}{10}}+12}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-(12-x)+12=x-12+12}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x}\end{array}$


$\mathbf{\text{c)}}$ Llamamos $y$ al valor que devuelve la función:
$y=-x+25$
El término independiente es $25$. Lo pasamos al otro lado restándolo en los dos miembros:
$y-25=-x$
La $x$ lleva un signo menos delante: cambiamos de signo los dos lados:
$x=-(y-25)=25-y$
Ya está la $x$ despejada. Ahora intercambiamos los nombres de las dos variables: donde ponía $y$ escribimos $x$, y al revés. Es lo que dice la definición de función inversa:
$\boxed{{\displaystyle y=f(x)⟺x=f^{-1}(y)}}$
$y=25-x$
Y esa es la función inversa:
$f^{-1}(x)=25-x$
Comprobamos: al meter en la función lo que devuelve su inversa tiene que salir la $x$ de partida.
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle f(f^{-1}(x))=-(25-x)+25}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x-25+25=x}\end{array}$


$\mathbf{\text{d)}}$ Llamamos $y$ al valor que devuelve la función:
$y=2+9x$
El término independiente es $2$. Lo pasamos al otro lado restándolo en los dos miembros:
$y-2=9x$
Ahora la $x$ está multiplicada por $9$: pasamos ese número al otro lado dividiendo:
$x={\displaystyle \frac{y-2}{9}}$
Ya está la $x$ despejada. Ahora intercambiamos los nombres de las dos variables: donde ponía $y$ escribimos $x$, y al revés. Es lo que dice la definición de función inversa:
$\boxed{{\displaystyle y=f(x)⟺x=f^{-1}(y)}}$
$y={\displaystyle \frac{x-2}{9}}$
Y esa es la función inversa:
$f^{-1}(x)={\displaystyle \frac{x-2}{9}}$
Comprobamos: al meter en la función lo que devuelve su inversa tiene que salir la $x$ de partida.
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle f(f^{-1}(x))=9\cdot {\displaystyle \frac{x-2}{9}}+2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x-2+2=x}\end{array}$


$\mathbf{\text{e)}}$ Llamamos $y$ al valor que devuelve la función:
$y=-17-6x$
El término independiente es $-17$. Lo pasamos al otro lado sumándolo en los dos miembros:
$y+17=-6x$
Ahora la $x$ está multiplicada por $-6$: pasamos ese número dividiendo y ordenamos el numerador:
$x={\displaystyle \frac{y+17}{-6}}={\displaystyle \frac{-y-17}{6}}$
Ya está la $x$ despejada. Ahora intercambiamos los nombres de las dos variables: donde ponía $y$ escribimos $x$, y al revés. Es lo que dice la definición de función inversa:
$\boxed{{\displaystyle y=f(x)⟺x=f^{-1}(y)}}$
$y={\displaystyle \frac{-x-17}{6}}$
Y esa es la función inversa:
$f^{-1}(x)={\displaystyle \frac{-x-17}{6}}$
Comprobamos: al meter en la función lo que devuelve su inversa tiene que salir la $x$ de partida.
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle f(f^{-1}(x))=-6\cdot {\displaystyle \frac{-x-17}{6}}-17}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-(-x-17)-17=x+17-17}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x}\end{array}$