Ejercicio resuelto de Función inversa · Matemáticas 4 ESO

Calcule la inversa de las funciones:

a) $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x-1}}$
b) $f(x)=\log (x)$
c) $f(x)={(x-1)}^3$
d) $f(x)=e^{x+1}$
e) $f(x)=e^{e^x}$
f) $f(x)=\sqrt{x^2+2x+1}$
g) $f(x)=\ln (5x+1)$

$\mathbf{\text{a)}}$ Escribimos y en lugar de f(x):
$y={\displaystyle \frac{1}{x-1}}$
Multiplicamos los dos miembros por el denominador:
$y(x-1)=1$
Quitamos el paréntesis:
$xy-y=1$
Pasamos los términos con x al primer miembro (que es donde su coeficiente queda positivo) y los demás al segundo:
$xy=y+1$
Solo hay un término con x, así que no hace falta sacar factor común.
Dividimos por el coeficiente de x:
$x={\displaystyle \frac{y+1}{y}}$
Ya está la x despejada en función de y. La inversa deshace lo que hace f, así que solo queda intercambiar los nombres de las dos variables:
$\boxed{{\displaystyle y=f(x)⟺x=f^{-1}(y)}}$
$f^{-1}(x)={\displaystyle \frac{x+1}{x}}$
Comprobamos que al meter la inversa dentro de f se vuelve a la x. Para quitar las fracciones de dos pisos, multiplicamos el numerador y el denominador por $x$:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle f(f^{-1}(x))}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{x+1}{x}}-1}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{x}{(x+1)-x}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{x}{1}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x}\end{array}$


$\mathbf{\text{b)}}$ Escribimos y en lugar de f(x):
$y=\log x$
El logaritmo decimal es el de base 10, así que se deshace con una potencia de base 10:
$\boxed{{\displaystyle y=\log u⟺u={10}^y}}$
$x={10}^y$
Ya está la x despejada en función de y. La inversa deshace lo que hace f, así que solo queda intercambiar los nombres de las dos variables:
$\boxed{{\displaystyle y=f(x)⟺x=f^{-1}(y)}}$
$f^{-1}(x)={10}^x$
Comprobamos que al meter la inversa dentro de f se vuelve a la x:
$f(f^{-1}(x))=\log {10}^x=x\cdot \log 10=x$
En el último paso se ha usado que el logaritmo decimal de 10 vale 1.


$\mathbf{\text{c)}}$ Escribimos y en lugar de f(x):
$y={(x-1)}^3$
Un cubo se deshace con la raíz cúbica:
$\boxed{{\displaystyle y=u^3⟺u=\sqrt[3]{y}}}$
$x-1=\sqrt[3]{y}$
Despejamos la x:
$x=\sqrt[3]{y}+1$
Ya está la x despejada en función de y. La inversa deshace lo que hace f, así que solo queda intercambiar los nombres de las dos variables:
$\boxed{{\displaystyle y=f(x)⟺x=f^{-1}(y)}}$
$f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}+1$
Comprobamos que al meter la inversa dentro de f se vuelve a la x:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle f(f^{-1}(x))}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={(\sqrt[3]{x}+1-1)}^3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\left(\sqrt[3]{x}\right)}^3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x}\end{array}$


$\mathbf{\text{d)}}$ Escribimos y en lugar de f(x):
$y=e^{x+1}$
Una exponencial de base e se deshace con el logaritmo neperiano:
$\boxed{{\displaystyle y=e^u⟺u=\ln y}}$
$x+1=\ln y$
Despejamos la x:
$x=\ln y-1$
Ya está la x despejada en función de y. La inversa deshace lo que hace f, así que solo queda intercambiar los nombres de las dos variables:
$\boxed{{\displaystyle y=f(x)⟺x=f^{-1}(y)}}$
$f^{-1}(x)=\ln x-1$
Comprobamos que al meter la inversa dentro de f se vuelve a la x:
$f(f^{-1}(x))=e^{\ln x-1+1}=e^{\ln x}=x$


$\mathbf{\text{e)}}$ Escribimos y en lugar de f(x):
$y=e^{e^x}$
Hay dos exponenciales, una dentro de la otra, y se deshacen de fuera adentro. Cada una, con un logaritmo neperiano:
$\boxed{{\displaystyle y=e^u⟺u=\ln y}}$
Primero la de fuera, cuyo exponente es toda la exponencial de dentro:
$e^x=\ln y$
Y ahora la de dentro, cuyo exponente ya es la x:
$x=\ln (\ln y)$
Ya está la x despejada en función de y. La inversa deshace lo que hace f, así que solo queda intercambiar los nombres de las dos variables:
$\boxed{{\displaystyle y=f(x)⟺x=f^{-1}(y)}}$
$f^{-1}(x)=\ln (\ln x)$
Comprobamos que al meter la inversa dentro de f se vuelve a la x:
$f(f^{-1}(x))=e^{e^{\ln (\ln x)}}=e^{\ln x}=x$


$\mathbf{\text{f)}}$ Escribimos y en lugar de f(x):
$y=\sqrt{x^2+2x+1}$
El radicando es un cuadrado perfecto:
$\boxed{{\displaystyle (a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2}}$
$x^2+2x+1={(x+1)}^2$
Así que la función se escribe:
$y=\sqrt{{(x+1)}^2}$
Para deshacer la raíz cuadrada elevamos al cuadrado los dos miembros. Como una raíz cuadrada nunca es negativa, la y es mayor o igual que cero, y nos quedamos con la rama en la que x+1 tampoco es negativo.
$\boxed{{\displaystyle y=\sqrt{u}⟺u=y^2}}$
$y^2={(x+1)}^2$
$y=x+1$
Despejamos la x:
$x=y-1$
Ya está la x despejada en función de y. La inversa deshace lo que hace f, así que solo queda intercambiar los nombres de las dos variables:
$\boxed{{\displaystyle y=f(x)⟺x=f^{-1}(y)}}$
$f^{-1}(x)=x-1$
Comprobamos que al meter la inversa dentro de f se vuelve a la x:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle f(f^{-1}(x))}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sqrt{{(x-1)}^2+2(x-1)+1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sqrt{x^2-2x+1+2x-2+1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sqrt{x^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mid x\mid }\end{array}$
La condición de antes (y mayor o igual que cero) es la condición sobre la x de la inversa: su dominio es el recorrido de f, los números mayores o iguales que cero. Como x no es negativa, ese valor absoluto es la propia x.


$\mathbf{\text{g)}}$ Escribimos y en lugar de f(x):
$y=\ln (5x+1)$
Un logaritmo neperiano se deshace con la exponencial de base e:
$\boxed{{\displaystyle y=\ln u⟺u=e^y}}$
$5x+1=e^y$
Despejamos la x:
$5x=e^y-1$
$x={\displaystyle \frac{e^y-1}{5}}$
Ya está la x despejada en función de y. La inversa deshace lo que hace f, así que solo queda intercambiar los nombres de las dos variables:
$\boxed{{\displaystyle y=f(x)⟺x=f^{-1}(y)}}$
$f^{-1}(x)={\displaystyle \frac{e^x-1}{5}}$
Comprobamos que al meter la inversa dentro de f se vuelve a la x:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle f(f^{-1}(x))}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\ln (5\cdot {\displaystyle \frac{e^x-1}{5}}+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\ln (e^x-1+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\ln e^x}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x}\end{array}$