Ejercicio resuelto de Razones trigonométricas · Matemáticas 4 ESO

Utilizando únicamente la tabla de las razones trigonométricas conocidas:

$\alpha$	$\mathrm{sen}\alpha$	$\cos \alpha$	$\mathrm{tg}\alpha$ $0^{\circ }$	$0$	$1$	$0$ ${30}^{\circ }$	${\displaystyle \frac{1}{2}}$	${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$	${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$ ${45}^{\circ }$	${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$	${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$	$1$ ${60}^{\circ }$	${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$	${\displaystyle \frac{1}{2}}$	$\sqrt{3}$ ${90}^{\circ }$	$1$	$0$	$\mathrm{\infty }$

calcular las razones trigonométricas seno, coseno y tangente de los siguientes ángulos:

a) ${120}^{\circ }$
b) ${135}^{\circ }$
c) ${150}^{\circ }$
d) ${180}^{\circ }$
e) ${210}^{\circ }$
f) ${225}^{\circ }$

$\mathbf{\text{a)}}$ El ángulo de ${120}^{\circ }$ está entre ${90}^{\circ }$ y ${180}^{\circ }$, o sea, en el segundo cuadrante: allí el seno es positivo, y el coseno y la tangente son negativos. Se reduce al primer cuadrante restándolo de ${180}^{\circ }$, y el ángulo de referencia es ${180}^{\circ }-{120}^{\circ }={60}^{\circ }$.
El seno, con la tabla y el signo que le toca:
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{sen}({180}^{\circ }-\alpha )=\mathrm{sen}\alpha }}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \mathrm{sen}{120}^{\circ }=\mathrm{sen}({180}^{\circ }-{60}^{\circ })}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathrm{sen}{60}^{\circ }={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}}\end{array}$
El coseno, igual:
$\boxed{{\displaystyle \cos ({180}^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha }}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \cos {120}^{\circ }=\cos ({180}^{\circ }-{60}^{\circ })}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\cos {60}^{\circ }=-{\displaystyle \frac{1}{2}}}\end{array}$
Y la tangente es el cociente de los dos:
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{tg}\alpha ={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}\alpha }{\cos \alpha }}}}$
$\mathrm{tg}{120}^{\circ }={\displaystyle \frac{\sqrt{3}\mathrm{/}2}{-1\mathrm{/}2}}=-\sqrt{3}$
Resultado: $\mathrm{sen}{120}^{\circ }={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$, $\cos {120}^{\circ }=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ y $\mathrm{tg}{120}^{\circ }=-\sqrt{3}$.


$\mathbf{\text{b)}}$ El ángulo de ${135}^{\circ }$ está entre ${90}^{\circ }$ y ${180}^{\circ }$, o sea, en el segundo cuadrante: allí el seno es positivo, y el coseno y la tangente son negativos. Se reduce al primer cuadrante restándolo de ${180}^{\circ }$, y el ángulo de referencia es ${180}^{\circ }-{135}^{\circ }={45}^{\circ }$.
El seno, con la tabla y el signo que le toca:
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{sen}({180}^{\circ }-\alpha )=\mathrm{sen}\alpha }}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \mathrm{sen}{135}^{\circ }=\mathrm{sen}({180}^{\circ }-{45}^{\circ })}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathrm{sen}{45}^{\circ }={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}}\end{array}$
El coseno, igual:
$\boxed{{\displaystyle \cos ({180}^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha }}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \cos {135}^{\circ }=\cos ({180}^{\circ }-{45}^{\circ })}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\cos {45}^{\circ }=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}}\end{array}$
Y la tangente es el cociente de los dos:
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{tg}\alpha ={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}\alpha }{\cos \alpha }}}}$
$\mathrm{tg}{135}^{\circ }={\displaystyle \frac{\sqrt{2}\mathrm{/}2}{-\sqrt{2}\mathrm{/}2}}=-1$
Resultado: $\mathrm{sen}{135}^{\circ }={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$, $\cos {135}^{\circ }=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ y $\mathrm{tg}{135}^{\circ }=-1$.


$\mathbf{\text{c)}}$ El ángulo de ${150}^{\circ }$ está entre ${90}^{\circ }$ y ${180}^{\circ }$, o sea, en el segundo cuadrante: allí el seno es positivo, y el coseno y la tangente son negativos. Se reduce al primer cuadrante restándolo de ${180}^{\circ }$, y el ángulo de referencia es ${180}^{\circ }-{150}^{\circ }={30}^{\circ }$.
El seno, con la tabla y el signo que le toca:
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{sen}({180}^{\circ }-\alpha )=\mathrm{sen}\alpha }}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \mathrm{sen}{150}^{\circ }=\mathrm{sen}({180}^{\circ }-{30}^{\circ })}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathrm{sen}{30}^{\circ }={\displaystyle \frac{1}{2}}}\end{array}$
El coseno, igual:
$\boxed{{\displaystyle \cos ({180}^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha }}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \cos {150}^{\circ }=\cos ({180}^{\circ }-{30}^{\circ })}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\cos {30}^{\circ }=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}}\end{array}$
Y la tangente es el cociente de los dos:
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{tg}\alpha ={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}\alpha }{\cos \alpha }}}}$
$\mathrm{tg}{150}^{\circ }={\displaystyle \frac{1\mathrm{/}2}{-\sqrt{3}\mathrm{/}2}}=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$
Resultado: $\mathrm{sen}{150}^{\circ }={\displaystyle \frac{1}{2}}$, $\cos {150}^{\circ }=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ y $\mathrm{tg}{150}^{\circ }=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$.


$\mathbf{\text{d)}}$ El ángulo de ${180}^{\circ }$ no cae dentro de ningún cuadrante: está justo sobre el semieje negativo de las $x$. Aun así se reduce igual que los del segundo cuadrante, y el ángulo de referencia es ${180}^{\circ }-{180}^{\circ }=0^{\circ }$.
El seno, con la tabla y el signo que le toca:
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{sen}({180}^{\circ }-\alpha )=\mathrm{sen}\alpha }}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \mathrm{sen}{180}^{\circ }=\mathrm{sen}({180}^{\circ }-0^{\circ })}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathrm{sen}{0}^{\circ }=0}\end{array}$
El coseno, igual:
$\boxed{{\displaystyle \cos ({180}^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha }}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \cos {180}^{\circ }=\cos ({180}^{\circ }-0^{\circ })}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\cos 0^{\circ }=-1}\end{array}$
Y la tangente es el cociente de los dos:
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{tg}\alpha ={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}\alpha }{\cos \alpha }}}}$
$\mathrm{tg}{180}^{\circ }={\displaystyle \frac{0}{-1}}=0$
Resultado: $\mathrm{sen}{180}^{\circ }=0$, $\cos {180}^{\circ }=-1$ y $\mathrm{tg}{180}^{\circ }=0$.


$\mathbf{\text{e)}}$ El ángulo de ${210}^{\circ }$ está entre ${180}^{\circ }$ y ${270}^{\circ }$, o sea, en el tercer cuadrante: allí el seno y el coseno son negativos, y la tangente es positiva. Se reduce al primer cuadrante restándole ${180}^{\circ }$, y el ángulo de referencia es ${210}^{\circ }-{180}^{\circ }={30}^{\circ }$.
El seno, con la tabla y el signo que le toca:
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{sen}({180}^{\circ }+\alpha )=-\mathrm{sen}\alpha }}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \mathrm{sen}{210}^{\circ }=\mathrm{sen}({180}^{\circ }+{30}^{\circ })}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\mathrm{sen}{30}^{\circ }=-{\displaystyle \frac{1}{2}}}\end{array}$
El coseno, igual:
$\boxed{{\displaystyle \cos ({180}^{\circ }+\alpha )=-\cos \alpha }}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \cos {210}^{\circ }=\cos ({180}^{\circ }+{30}^{\circ })}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\cos {30}^{\circ }=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}}\end{array}$
Y la tangente es el cociente de los dos:
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{tg}\alpha ={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}\alpha }{\cos \alpha }}}}$
$\mathrm{tg}{210}^{\circ }={\displaystyle \frac{-1\mathrm{/}2}{-\sqrt{3}\mathrm{/}2}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$
Resultado: $\mathrm{sen}{210}^{\circ }=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$, $\cos {210}^{\circ }=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ y $\mathrm{tg}{210}^{\circ }={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$.


$\mathbf{\text{f)}}$ El ángulo de ${225}^{\circ }$ está entre ${180}^{\circ }$ y ${270}^{\circ }$, o sea, en el tercer cuadrante: allí el seno y el coseno son negativos, y la tangente es positiva. Se reduce al primer cuadrante restándole ${180}^{\circ }$, y el ángulo de referencia es ${225}^{\circ }-{180}^{\circ }={45}^{\circ }$.
El seno, con la tabla y el signo que le toca:
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{sen}({180}^{\circ }+\alpha )=-\mathrm{sen}\alpha }}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \mathrm{sen}{225}^{\circ }=\mathrm{sen}({180}^{\circ }+{45}^{\circ })}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\mathrm{sen}{45}^{\circ }=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}}\end{array}$
El coseno, igual:
$\boxed{{\displaystyle \cos ({180}^{\circ }+\alpha )=-\cos \alpha }}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \cos {225}^{\circ }=\cos ({180}^{\circ }+{45}^{\circ })}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\cos {45}^{\circ }=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}}\end{array}$
Y la tangente es el cociente de los dos:
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{tg}\alpha ={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}\alpha }{\cos \alpha }}}}$
$\mathrm{tg}{225}^{\circ }={\displaystyle \frac{-\sqrt{2}\mathrm{/}2}{-\sqrt{2}\mathrm{/}2}}=1$
Resultado: $\mathrm{sen}{225}^{\circ }=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$, $\cos {225}^{\circ }=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ y $\mathrm{tg}{225}^{\circ }=1$.