Ejercicio resuelto de Razones trigonométricas · Matemáticas 4 ESO

Expresa en radianes los siguientes ángulos:

a) ${315}^{\circ }$
b) ${300}^{\circ }$
c) ${135}^{\circ }$
d) ${2210}^{\circ }$
e) ${945}^{\circ }$
f) $-{1500}^{\circ }$
g) ${1650}^{\circ }$

$\mathbf{\text{a)}}$ Pasamos de grados a radianes multiplicando por el factor de conversión. Ese factor vale 1, porque media vuelta son ${180}^{\circ }$ y también $\pi$ rad: al multiplicar no cambia el ángulo, solo la unidad en la que se mide.
$\boxed{{\displaystyle {\alpha }_{\text{rad}}={\alpha }_{\text{grados}}\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{{180}^{\circ }}}}}$
${315}^{\circ }\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{{180}^{\circ }}}={\displaystyle \frac{315\pi }{180}}={\displaystyle \frac{7\pi }{4}}$
La fracción se ha simplificado dividiendo numerador y denominador entre 45. En forma decimal, tomando $\pi =\mathrm{3,1416}$:
${\displaystyle \frac{7\pi }{4}}\text{ rad}=\mathrm{5,50}\text{ rad}$
Resultado: ${\displaystyle \frac{7\pi }{4}}\text{ rad}$.


$\mathbf{\text{b)}}$ Pasamos de grados a radianes multiplicando por el factor de conversión. Ese factor vale 1, porque media vuelta son ${180}^{\circ }$ y también $\pi$ rad: al multiplicar no cambia el ángulo, solo la unidad en la que se mide.
$\boxed{{\displaystyle {\alpha }_{\text{rad}}={\alpha }_{\text{grados}}\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{{180}^{\circ }}}}}$
${300}^{\circ }\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{{180}^{\circ }}}={\displaystyle \frac{300\pi }{180}}={\displaystyle \frac{5\pi }{3}}$
La fracción se ha simplificado dividiendo numerador y denominador entre 60. En forma decimal, tomando $\pi =\mathrm{3,1416}$:
${\displaystyle \frac{5\pi }{3}}\text{ rad}=\mathrm{5,24}\text{ rad}$
Resultado: ${\displaystyle \frac{5\pi }{3}}\text{ rad}$.


$\mathbf{\text{c)}}$ Pasamos de grados a radianes multiplicando por el factor de conversión. Ese factor vale 1, porque media vuelta son ${180}^{\circ }$ y también $\pi$ rad: al multiplicar no cambia el ángulo, solo la unidad en la que se mide.
$\boxed{{\displaystyle {\alpha }_{\text{rad}}={\alpha }_{\text{grados}}\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{{180}^{\circ }}}}}$
${135}^{\circ }\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{{180}^{\circ }}}={\displaystyle \frac{135\pi }{180}}={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$
La fracción se ha simplificado dividiendo numerador y denominador entre 45. En forma decimal, tomando $\pi =\mathrm{3,1416}$:
${\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\text{ rad}=\mathrm{2,36}\text{ rad}$
Resultado: ${\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\text{ rad}$.


$\mathbf{\text{d)}}$ Pasamos de grados a radianes multiplicando por el factor de conversión. Ese factor vale 1, porque media vuelta son ${180}^{\circ }$ y también $\pi$ rad: al multiplicar no cambia el ángulo, solo la unidad en la que se mide.
$\boxed{{\displaystyle {\alpha }_{\text{rad}}={\alpha }_{\text{grados}}\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{{180}^{\circ }}}}}$
${2210}^{\circ }\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{{180}^{\circ }}}={\displaystyle \frac{2210\pi }{180}}={\displaystyle \frac{221\pi }{18}}$
La fracción se ha simplificado dividiendo numerador y denominador entre 10. En forma decimal, tomando $\pi =\mathrm{3,1416}$:
${\displaystyle \frac{221\pi }{18}}\text{ rad}=\mathrm{38,57}\text{ rad}$
Resultado: ${\displaystyle \frac{221\pi }{18}}\text{ rad}$.


$\mathbf{\text{e)}}$ Pasamos de grados a radianes multiplicando por el factor de conversión. Ese factor vale 1, porque media vuelta son ${180}^{\circ }$ y también $\pi$ rad: al multiplicar no cambia el ángulo, solo la unidad en la que se mide.
$\boxed{{\displaystyle {\alpha }_{\text{rad}}={\alpha }_{\text{grados}}\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{{180}^{\circ }}}}}$
${945}^{\circ }\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{{180}^{\circ }}}={\displaystyle \frac{945\pi }{180}}={\displaystyle \frac{21\pi }{4}}$
La fracción se ha simplificado dividiendo numerador y denominador entre 45. En forma decimal, tomando $\pi =\mathrm{3,1416}$:
${\displaystyle \frac{21\pi }{4}}\text{ rad}=\mathrm{16,49}\text{ rad}$
Resultado: ${\displaystyle \frac{21\pi }{4}}\text{ rad}$.


$\mathbf{\text{f)}}$ Pasamos de grados a radianes multiplicando por el factor de conversión. Ese factor vale 1, porque media vuelta son ${180}^{\circ }$ y también $\pi$ rad: al multiplicar no cambia el ángulo, solo la unidad en la que se mide.
$\boxed{{\displaystyle {\alpha }_{\text{rad}}={\alpha }_{\text{grados}}\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{{180}^{\circ }}}}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle -{1500}^{\circ }\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{{180}^{\circ }}}=-{\displaystyle \frac{1500\pi }{180}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{25\pi }{3}}}\end{array}$
La fracción se ha simplificado dividiendo numerador y denominador entre 60. En forma decimal, tomando $\pi =\mathrm{3,1416}$:
$-{\displaystyle \frac{25\pi }{3}}\text{ rad}=-\mathrm{26,18}\text{ rad}$
Resultado: $-{\displaystyle \frac{25\pi }{3}}\text{ rad}$.


$\mathbf{\text{g)}}$ Pasamos de grados a radianes multiplicando por el factor de conversión. Ese factor vale 1, porque media vuelta son ${180}^{\circ }$ y también $\pi$ rad: al multiplicar no cambia el ángulo, solo la unidad en la que se mide.
$\boxed{{\displaystyle {\alpha }_{\text{rad}}={\alpha }_{\text{grados}}\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{{180}^{\circ }}}}}$
${1650}^{\circ }\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{{180}^{\circ }}}={\displaystyle \frac{1650\pi }{180}}={\displaystyle \frac{55\pi }{6}}$
La fracción se ha simplificado dividiendo numerador y denominador entre 30. En forma decimal, tomando $\pi =\mathrm{3,1416}$:
${\displaystyle \frac{55\pi }{6}}\text{ rad}=\mathrm{28,80}\text{ rad}$
Resultado: ${\displaystyle \frac{55\pi }{6}}\text{ rad}$.