Ejercicio resuelto de Razones trigonométricas · Matemáticas 4 ESO

Calcula el valor de las restantes razones trigonométricas sin calcular el valor de $\alpha$ en los casos siguientes:

a) $\mathrm{sen}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{4}}$, con $\alpha \in [0^{\circ },{90}^{\circ }]$
b) $\mathrm{sen}\alpha =-{\displaystyle \frac{1}{3}}$, con $\alpha \in [{180}^{\circ },{270}^{\circ }]$
c) $\mathrm{sen}\alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$, con $\alpha \in [0^{\circ },{90}^{\circ }]$
d) $\cos \alpha =\mathrm{0,8}$, con $\alpha \in [0^{\circ },{90}^{\circ }]$
e) $\mathrm{tg}\alpha =2$, con $\alpha \in [0^{\circ },{90}^{\circ }]$
f) $\cos \alpha ={\displaystyle \frac{3}{5}}$, con $\alpha \in [{270}^{\circ },{360}^{\circ }]$
g) $\cos \alpha =-{\displaystyle \frac{1}{3}}$, con $\alpha \in [{90}^{\circ },{180}^{\circ }]$
h) $\sec \alpha =-{\displaystyle \frac{3}{2}}$, con $\alpha \in [{180}^{\circ },{270}^{\circ }]$

$\mathbf{\text{a)}}$ El enunciado sitúa $\alpha$ entre $0^{\circ }$ y ${90}^{\circ }$, o sea, en el primer cuadrante: allí todas las razones son positivas.
Partimos de la relación fundamental, que liga el seno y el coseno, y despejamos el cuadrado del coseno:
$\boxed{{\displaystyle {\mathrm{sen}}^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle {\cos }^2\alpha =1-{\mathrm{sen}}^2\alpha =1-{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-{\displaystyle \frac{1}{16}}={\displaystyle \frac{15}{16}}}\end{array}$
Falta la raíz cuadrada, y ahí hay dos posibilidades. El signo lo decide el cuadrante, no la fórmula: como $\alpha$ está en el primer cuadrante, el coseno es positivo.
$\cos \alpha =\sqrt{{\displaystyle \frac{15}{16}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{4}}$
La tangente es el cociente del seno entre el coseno:
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{tg}\alpha ={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}\alpha }{\cos \alpha }}}}$
$\mathrm{tg}\alpha ={\displaystyle \frac{1\mathrm{/}4}{\sqrt{15}\mathrm{/}4}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{15}}}$
La secante es el inverso del coseno:
$\boxed{{\displaystyle \sec \alpha ={\displaystyle \frac{1}{\cos \alpha }}}}$
$\sec \alpha ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{15}\mathrm{/}4}}={\displaystyle \frac{4}{\sqrt{15}}}$
La cosecante es el inverso del seno:
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{cosec}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{sen}\alpha }}}}$
$\mathrm{cosec}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{1\mathrm{/}4}}=4$
La cotangente es el inverso de la tangente:
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{cotg}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{tg}\alpha }}}}$
$\mathrm{cotg}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{1\mathrm{/}\sqrt{15}}}=\sqrt{15}$
Resultado: $\cos \alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{4}}$, $\mathrm{tg}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{15}}}$, $\sec \alpha ={\displaystyle \frac{4}{\sqrt{15}}}$, $\mathrm{cosec}\alpha =4$ y $\mathrm{cotg}\alpha =\sqrt{15}$.


$\mathbf{\text{b)}}$ El enunciado sitúa $\alpha$ entre ${180}^{\circ }$ y ${270}^{\circ }$, o sea, en el tercer cuadrante: allí el seno y el coseno son negativos, y la tangente es positiva.
Partimos de la relación fundamental, que liga el seno y el coseno, y despejamos el cuadrado del coseno:
$\boxed{{\displaystyle {\mathrm{sen}}^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle {\cos }^2\alpha =1-{\mathrm{sen}}^2\alpha =1-{(-{\displaystyle \frac{1}{3}})}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-{\displaystyle \frac{1}{9}}={\displaystyle \frac{8}{9}}}\end{array}$
Falta la raíz cuadrada, y ahí hay dos posibilidades. El signo lo decide el cuadrante, no la fórmula: como $\alpha$ está en el tercer cuadrante, el coseno es negativo.
$\cos \alpha =-\sqrt{{\displaystyle \frac{8}{9}}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{8}}{3}}$
La tangente es el cociente del seno entre el coseno:
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{tg}\alpha ={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}\alpha }{\cos \alpha }}}}$
$\mathrm{tg}\alpha ={\displaystyle \frac{-1\mathrm{/}3}{-\sqrt{8}\mathrm{/}3}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{8}}}$
La secante es el inverso del coseno:
$\boxed{{\displaystyle \sec \alpha ={\displaystyle \frac{1}{\cos \alpha }}}}$
$\sec \alpha ={\displaystyle \frac{1}{-\sqrt{8}\mathrm{/}3}}=-{\displaystyle \frac{3}{\sqrt{8}}}$
La cosecante es el inverso del seno:
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{cosec}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{sen}\alpha }}}}$
$\mathrm{cosec}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{-1\mathrm{/}3}}=-3$
La cotangente es el inverso de la tangente:
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{cotg}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{tg}\alpha }}}}$
$\mathrm{cotg}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{1\mathrm{/}\sqrt{8}}}=\sqrt{8}$
Resultado: $\cos \alpha =-{\displaystyle \frac{\sqrt{8}}{3}}$, $\mathrm{tg}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{8}}}$, $\sec \alpha =-{\displaystyle \frac{3}{\sqrt{8}}}$, $\mathrm{cosec}\alpha =-3$ y $\mathrm{cotg}\alpha =\sqrt{8}$.


$\mathbf{\text{c)}}$ El enunciado sitúa $\alpha$ entre $0^{\circ }$ y ${90}^{\circ }$, o sea, en el primer cuadrante: allí todas las razones son positivas.
Partimos de la relación fundamental, que liga el seno y el coseno, y despejamos el cuadrado del coseno:
$\boxed{{\displaystyle {\mathrm{sen}}^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle {\cos }^2\alpha =1-{\mathrm{sen}}^2\alpha }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)}^2=1-{\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{1}{4}}}\end{array}$
Falta la raíz cuadrada, y ahí hay dos posibilidades. El signo lo decide el cuadrante, no la fórmula: como $\alpha$ está en el primer cuadrante, el coseno es positivo.
$\cos \alpha =\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$
La tangente es el cociente del seno entre el coseno:
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{tg}\alpha ={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}\alpha }{\cos \alpha }}}}$
$\mathrm{tg}\alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}\mathrm{/}2}{1\mathrm{/}2}}=\sqrt{3}$
La secante es el inverso del coseno:
$\boxed{{\displaystyle \sec \alpha ={\displaystyle \frac{1}{\cos \alpha }}}}$
$\sec \alpha ={\displaystyle \frac{1}{1\mathrm{/}2}}=2$
La cosecante es el inverso del seno:
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{cosec}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{sen}\alpha }}}}$
$\mathrm{cosec}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}\mathrm{/}2}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}$
La cotangente es el inverso de la tangente:
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{cotg}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{tg}\alpha }}}}$
$\mathrm{cotg}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$
Resultado: $\cos \alpha ={\displaystyle \frac{1}{2}}$, $\mathrm{tg}\alpha =\sqrt{3}$, $\sec \alpha =2$, $\mathrm{cosec}\alpha ={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}$ y $\mathrm{cotg}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$.


$\mathbf{\text{d)}}$ El enunciado sitúa $\alpha$ entre $0^{\circ }$ y ${90}^{\circ }$, o sea, en el primer cuadrante: allí todas las razones son positivas.
Partimos de la relación fundamental, que liga el seno y el coseno, y despejamos el cuadrado del seno:
$\boxed{{\displaystyle {\mathrm{sen}}^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle {\mathrm{sen}}^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-{\mathrm{0,8}}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-\mathrm{0,64}=\mathrm{0,36}}\end{array}$
Falta la raíz cuadrada, y ahí hay dos posibilidades. El signo lo decide el cuadrante, no la fórmula: como $\alpha$ está en el primer cuadrante, el seno es positivo.
$\mathrm{sen}\alpha =\sqrt{\mathrm{0,36}}=\mathrm{0,6}$
La tangente es el cociente del seno entre el coseno:
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{tg}\alpha ={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}\alpha }{\cos \alpha }}}}$
$\mathrm{tg}\alpha ={\displaystyle \frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,8}}}=\mathrm{0,75}$
La secante es el inverso del coseno:
$\boxed{{\displaystyle \sec \alpha ={\displaystyle \frac{1}{\cos \alpha }}}}$
$\sec \alpha ={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,8}}}=\mathrm{1,25}$
La cosecante es el inverso del seno:
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{cosec}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{sen}\alpha }}}}$
$\mathrm{cosec}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,6}}}={\displaystyle \frac{5}{3}}$
La cotangente es el inverso de la tangente:
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{cotg}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{tg}\alpha }}}}$
$\mathrm{cotg}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,75}}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$
Resultado: $\mathrm{sen}\alpha =\mathrm{0,6}$, $\mathrm{tg}\alpha =\mathrm{0,75}$, $\sec \alpha =\mathrm{1,25}$, $\mathrm{cosec}\alpha ={\displaystyle \frac{5}{3}}$ y $\mathrm{cotg}\alpha ={\displaystyle \frac{4}{3}}$.


$\mathbf{\text{e)}}$ El enunciado sitúa $\alpha$ entre $0^{\circ }$ y ${90}^{\circ }$, o sea, en el primer cuadrante: allí todas las razones son positivas.
El dato es la tangente. Si en la relación fundamental se divide todo entre el cuadrado del coseno, sale la fórmula que liga la tangente con la secante:
$\boxed{{\displaystyle 1+{\mathrm{tg}}^2\alpha ={\sec }^2\alpha }}$
${\sec }^2\alpha =1+2^2=5$
El signo lo decide el cuadrante: en el primer cuadrante la secante es positiva, porque el coseno lo es.
$\sec \alpha =\sqrt{5}$
El coseno es el inverso de la secante:
$\boxed{{\displaystyle \sec \alpha ={\displaystyle \frac{1}{\cos \alpha }}}}$
$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}$
Y el seno sale de la tangente, multiplicándola por el coseno:
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{tg}\alpha ={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}\alpha }{\cos \alpha }}}}$
$\mathrm{sen}\alpha =2\cdot {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}$
La cosecante es el inverso del seno:
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{cosec}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{sen}\alpha }}}}$
$\mathrm{cosec}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{2\mathrm{/}\sqrt{5}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}$
La cotangente es el inverso de la tangente:
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{cotg}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{tg}\alpha }}}}$
$\mathrm{cotg}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{2}}$
Resultado: $\sec \alpha =\sqrt{5}$, $\cos \alpha ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}$, $\mathrm{sen}\alpha ={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}$, $\mathrm{cosec}\alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}$ y $\mathrm{cotg}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{2}}$.


$\mathbf{\text{f)}}$ El enunciado sitúa $\alpha$ entre ${270}^{\circ }$ y ${360}^{\circ }$, o sea, en el cuarto cuadrante: allí el coseno es positivo, y el seno y la tangente son negativos.
Partimos de la relación fundamental, que liga el seno y el coseno, y despejamos el cuadrado del seno:
$\boxed{{\displaystyle {\mathrm{sen}}^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle {\mathrm{sen}}^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-{\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-{\displaystyle \frac{9}{25}}={\displaystyle \frac{16}{25}}}\end{array}$
Falta la raíz cuadrada, y ahí hay dos posibilidades. El signo lo decide el cuadrante, no la fórmula: como $\alpha$ está en el cuarto cuadrante, el seno es negativo.
$\mathrm{sen}\alpha =-\sqrt{{\displaystyle \frac{16}{25}}}=-{\displaystyle \frac{4}{5}}$
La tangente es el cociente del seno entre el coseno:
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{tg}\alpha ={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}\alpha }{\cos \alpha }}}}$
$\mathrm{tg}\alpha ={\displaystyle \frac{-4\mathrm{/}5}{3\mathrm{/}5}}=-{\displaystyle \frac{4}{3}}$
La secante es el inverso del coseno:
$\boxed{{\displaystyle \sec \alpha ={\displaystyle \frac{1}{\cos \alpha }}}}$
$\sec \alpha ={\displaystyle \frac{1}{3\mathrm{/}5}}={\displaystyle \frac{5}{3}}$
La cosecante es el inverso del seno:
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{cosec}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{sen}\alpha }}}}$
$\mathrm{cosec}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{-4\mathrm{/}5}}=-{\displaystyle \frac{5}{4}}$
La cotangente es el inverso de la tangente:
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{cotg}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{tg}\alpha }}}}$
$\mathrm{cotg}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{-4\mathrm{/}3}}=-{\displaystyle \frac{3}{4}}$
Resultado: $\mathrm{sen}\alpha =-{\displaystyle \frac{4}{5}}$, $\mathrm{tg}\alpha =-{\displaystyle \frac{4}{3}}$, $\sec \alpha ={\displaystyle \frac{5}{3}}$, $\mathrm{cosec}\alpha =-{\displaystyle \frac{5}{4}}$ y $\mathrm{cotg}\alpha =-{\displaystyle \frac{3}{4}}$.


$\mathbf{\text{g)}}$ El enunciado sitúa $\alpha$ entre ${90}^{\circ }$ y ${180}^{\circ }$, o sea, en el segundo cuadrante: allí el seno es positivo, y el coseno y la tangente son negativos.
Partimos de la relación fundamental, que liga el seno y el coseno, y despejamos el cuadrado del seno:
$\boxed{{\displaystyle {\mathrm{sen}}^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle {\mathrm{sen}}^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-{(-{\displaystyle \frac{1}{3}})}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-{\displaystyle \frac{1}{9}}={\displaystyle \frac{8}{9}}}\end{array}$
Falta la raíz cuadrada, y ahí hay dos posibilidades. El signo lo decide el cuadrante, no la fórmula: como $\alpha$ está en el segundo cuadrante, el seno es positivo.
$\mathrm{sen}\alpha =\sqrt{{\displaystyle \frac{8}{9}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{8}}{3}}$
La tangente es el cociente del seno entre el coseno:
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{tg}\alpha ={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}\alpha }{\cos \alpha }}}}$
$\mathrm{tg}\alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{8}\mathrm{/}3}{-1\mathrm{/}3}}=-\sqrt{8}$
La secante es el inverso del coseno:
$\boxed{{\displaystyle \sec \alpha ={\displaystyle \frac{1}{\cos \alpha }}}}$
$\sec \alpha ={\displaystyle \frac{1}{-1\mathrm{/}3}}=-3$
La cosecante es el inverso del seno:
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{cosec}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{sen}\alpha }}}}$
$\mathrm{cosec}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{8}\mathrm{/}3}}={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{8}}}$
La cotangente es el inverso de la tangente:
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{cotg}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{tg}\alpha }}}}$
$\mathrm{cotg}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{-\sqrt{8}}}=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{8}}}$
Resultado: $\mathrm{sen}\alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{8}}{3}}$, $\mathrm{tg}\alpha =-\sqrt{8}$, $\sec \alpha =-3$, $\mathrm{cosec}\alpha ={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{8}}}$ y $\mathrm{cotg}\alpha =-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{8}}}$.


$\mathbf{\text{h)}}$ El enunciado sitúa $\alpha$ entre ${180}^{\circ }$ y ${270}^{\circ }$, o sea, en el tercer cuadrante: allí el seno y el coseno son negativos, y la tangente es positiva.
El dato es la secante, que es el inverso del coseno; dándole la vuelta sale el coseno:
$\boxed{{\displaystyle \sec \alpha ={\displaystyle \frac{1}{\cos \alpha }}}}$
$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{1}{-3\mathrm{/}2}}=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$
Partimos de la relación fundamental, que liga el seno y el coseno, y despejamos el cuadrado del seno:
$\boxed{{\displaystyle {\mathrm{sen}}^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle {\mathrm{sen}}^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-{(-{\displaystyle \frac{2}{3}})}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-{\displaystyle \frac{4}{9}}={\displaystyle \frac{5}{9}}}\end{array}$
Falta la raíz cuadrada, y ahí hay dos posibilidades. El signo lo decide el cuadrante, no la fórmula: como $\alpha$ está en el tercer cuadrante, el seno es negativo.
$\mathrm{sen}\alpha =-\sqrt{{\displaystyle \frac{5}{9}}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}}$
La tangente es el cociente del seno entre el coseno:
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{tg}\alpha ={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}\alpha }{\cos \alpha }}}}$
$\mathrm{tg}\alpha ={\displaystyle \frac{-\sqrt{5}\mathrm{/}3}{-2\mathrm{/}3}}={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}$
La cosecante es el inverso del seno:
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{cosec}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{sen}\alpha }}}}$
$\mathrm{cosec}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{-\sqrt{5}\mathrm{/}3}}=-{\displaystyle \frac{3}{\sqrt{5}}}$
La cotangente es el inverso de la tangente:
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{cotg}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{tg}\alpha }}}}$
$\mathrm{cotg}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}\mathrm{/}2}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}$
Resultado: $\cos \alpha =-{\displaystyle \frac{2}{3}}$, $\mathrm{sen}\alpha =-{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}}$, $\mathrm{tg}\alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}$, $\mathrm{cosec}\alpha =-{\displaystyle \frac{3}{\sqrt{5}}}$ y $\mathrm{cotg}\alpha ={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}$.