Ejercicio resuelto de Matemáticas 4 ESO

Tres amigos se sitúan en un campo de fútbol. Entre Álvaro y Bartolo hay 25 m y entre Bartolo y César, 12 metros. El ángulo formado en la esquina de César es de 20°. Calcula la distancia entre Álvaro y César.

Los tres amigos son los vértices de un triángulo. Llamamos $A$ a Álvaro, $B$ a Bartolo y $C$ a César. Se conocen el lado $AB=25$ m, el lado $CB=12$ m y el ángulo de 20° que hay en $C$. Lo que se busca es la distancia $CA$, que llamamos $x$.

Aquí hay algo distinto de los anteriores: el ángulo conocido, el de $C$, NO está entre los dos lados conocidos, sino entre uno conocido y el que se busca. Por eso, al aplicar el teorema del coseno, la incógnita aparece dos veces y sale una ecuación de segundo grado.
$\boxed{{\displaystyle a^2=b^2+c^2-2bc\cos A}}$
El lado que está enfrente del ángulo de $C$ es el de 25 m, así que ese es el que va solo en el primer miembro:
${25}^2=x^2+{12}^2-2\cdot x\cdot 12\cdot \cos {20}^{\circ }$
Operamos los números:
$625=x^2+144-24\cdot x\cdot \cos {20}^{\circ }$
Pasamos todo a un miembro y ordenamos:
$x^2-\mathrm{22,5526}x-481=0$
Es una ecuación de segundo grado; la resolvemos con la fórmula general:
$\boxed{{\displaystyle x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}}}$
Con $a=1$, $b=-\mathrm{22,5526}$ y $c=-481$, calculamos primero lo de dentro de la raíz:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle {(-\mathrm{22,5526})}^2-4\cdot 1\cdot (-481)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathrm{508,62}+1924=\mathrm{2432,62}}\end{array}$
$\sqrt{\mathrm{2432,62}}=\mathrm{49,3216}$
Y las dos soluciones:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle x_1={\displaystyle \frac{\mathrm{22,5526}+\mathrm{49,3216}}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\mathrm{71,8742}}{2}}=\mathrm{35,94}}\end{array}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle x_2={\displaystyle \frac{\mathrm{22,5526}-\mathrm{49,3216}}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\mathrm{13,38}}\end{array}$
La segunda solución es negativa y una distancia no puede serlo, así que se descarta.
Entre Álvaro y César hay 35,94 m.