Ejercicio resuelto de Matemáticas 4 ESO

En París y en l’Île de la Cité se encuentran Nôtre Dame y la Sainte Chapelle a una distancia de 200 metros. Imaginemos que un observador situado en $A$ ve $B$ y $C$ con un ángulo de 56° y que otro, situado en $B$ ve $A$ y $C$ con un ángulo de 117°. Calcular las distancias entre la torre Eiffel ($C$) y Nôtre Dame ($B$), así como entre la torre Eiffel ($C$) y la Sainte Chapelle ($A$).

Los tres monumentos son los vértices de un triángulo: $A$ es la Sainte Chapelle, $B$ es Nôtre Dame y $C$ la torre Eiffel. Lo que se conoce es el lado $AB=200$ m y los dos ángulos que hay en sus extremos, $A={56}^{\circ }$ y $B={117}^{\circ }$. En la notación de los lados, esos 200 m son el lado $c$, porque está enfrente del vértice $C$.
Lo primero, el tercer ángulo, porque los tres suman un ángulo llano:
$\boxed{{\displaystyle A+B+C={180}^{\circ }}}$
$C={180}^{\circ }-{56}^{\circ }-{117}^{\circ }=7^{\circ }$
Sale muy pequeño, de solo 7°, y eso ya avisa de que la torre Eiffel va a quedar lejísimos de los otros dos: cuanto menor es un ángulo, más pequeño es su seno y más grandes salen los lados que se dividen entre él.
Con un lado y su ángulo opuesto ya se puede aplicar el teorema del seno:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{\mathrm{sen}A}}={\displaystyle \frac{b}{\mathrm{sen}B}}={\displaystyle \frac{c}{\mathrm{sen}C}}}}$
La distancia de la torre Eiffel a Nôtre Dame es el lado $a$, el que está enfrente de $A$. Lo emparejamos con el lado $c$, que se conoce:
${\displaystyle \frac{a}{\mathrm{sen}{56}^{\circ }}}={\displaystyle \frac{200}{\mathrm{sen}{7}^{\circ }}}$
Despejamos. Aquí es importante NO redondear el seno de 7°: es un número pequeño y va dividiendo, así que un recorte suyo se nota mucho en el resultado. Se deja en la calculadora.
$a={\displaystyle \frac{200\cdot \mathrm{sen}{56}^{\circ }}{\mathrm{sen}{7}^{\circ }}}=\mathrm{1360,54}$
Y la distancia de la torre Eiffel a la Sainte Chapelle es el lado $b$, el de enfrente de $B$:
$b={\displaystyle \frac{200\cdot \mathrm{sen}{117}^{\circ }}{\mathrm{sen}{7}^{\circ }}}=\mathrm{1462,23}$
De la torre Eiffel a Nôtre Dame hay 1360,54 m, y de la torre Eiffel a la Sainte Chapelle, 1462,23 m.