Ejercicio resuelto de Matemáticas 4 ESO

En un terreno horizontal se divisa una torre desde un punto A bajo un ángulo de ${30}^{\circ }$. Si nos aproximamos 20 m se llega a un punto B, desde el que observamos la torre bajo un ángulo de ${45}^{\circ }$. Calcula la altura de la torre.

La torre se ve desde dos sitios distintos del suelo, así que hay DOS triángulos rectángulos: el de A, con el ángulo de ${30}^{\circ }$, y el de B, con el de ${45}^{\circ }$. Los dos tienen un cateto común, la altura de la torre, y sus otros catetos se llevan 20 m. Las incógnitas son la altura $h$ de la torre y la distancia $d$ de B al pie de la torre, las dos en metros.

En cada triángulo la altura es el cateto opuesto al ángulo y la distancia al pie de la torre, el contiguo, así que en los dos la razón que los relaciona es la tangente:
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{tg}\alpha ={\displaystyle \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto contiguo}}}}}$
Desde A, cuya distancia al pie es $d+20$, y desde B, que está a $d$:
$\{\begin{array}{l}\mathrm{tg}{30}^{\circ }={\displaystyle \frac{h}{d+20}}\\ \mathrm{tg}{45}^{\circ }={\displaystyle \frac{h}{d}}\end{array}$
Despejamos la distancia en cada ecuación, que es donde la altura queda sola:
$d+20={\displaystyle \frac{h}{\mathrm{tg}{30}^{\circ }}}$
$d={\displaystyle \frac{h}{\mathrm{tg}{45}^{\circ }}}$
Restando la segunda de la primera desaparece $d$ y quedan los 20 m que nos hemos acercado:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle 20}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{h}{\mathrm{tg}{30}^{\circ }}}-{\displaystyle \frac{h}{\mathrm{tg}{45}^{\circ }}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =h(\mathrm{1,7321}-1)}\end{array}$
Despejamos $h$:
$h={\displaystyle \frac{20}{\mathrm{1,7321}-1}}=\mathrm{27,32}\text{ m}$
La torre mide 27,32 metros de altura.