Ejercicio resuelto de Matemáticas 4 ESO

En un triángulo isósceles los dos lados iguales miden 10 cm y su área vale $48$ cm${}^2$. Calcula el valor de sus ángulos.

Del triángulo isósceles se conocen los dos lados iguales, de 10 cm, y el área. La fórmula del área de un triángulo con dos lados y el ángulo que forman encaja exactamente con esos datos: los dos lados son los iguales y el ángulo que forman, el del vértice. Las incógnitas son los tres ángulos, en grados; llamamos C al del vértice y A y B a los otros dos, que son iguales entre sí.

Escribimos el área con los dos lados iguales y el ángulo C que forman:
$\boxed{{\displaystyle \acute{\text{A}}\text{rea}={\displaystyle \frac{1}{2}}bc\mathrm{sen}A}}$
$48={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 10\cdot 10\cdot \mathrm{sen}C$
Despejamos el seno de C:
$\mathrm{sen}C={\displaystyle \frac{2\cdot 48}{10\cdot 10}}={\displaystyle \frac{96}{100}}=\mathrm{0,96}$
Y buscamos el ángulo cuyo seno vale 0,96:
$C={\mathrm{73,74}}^{\circ }$
Los otros dos son iguales, porque el triángulo es isósceles, y entre los tres suman 180°:
$\boxed{{\displaystyle A+B+C={180}^{\circ }}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle A}& {\displaystyle =B={\displaystyle \frac{{180}^{\circ }-C}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{{180}^{\circ }-{\mathrm{73,7398}}^{\circ }}{2}}={\mathrm{53,13}}^{\circ }}\end{array}$
El ángulo que forman los lados iguales mide 73,74 grados y los otros dos miden 53,13 grados cada uno. Hay otro triángulo con esos mismos datos, el que tiene el ángulo del vértice obtuso; el cuaderno se queda con el agudo.