Ejercicio resuelto de Matemáticas 4 ESO

En un triángulo isósceles el ángulo que determinan los lados iguales mide ${\mathrm{52,34}}^{\circ }$ y el lado desigual 55 cm. Calcula su perímetro y su área.

El triángulo es isósceles: los dos lados iguales determinan entre sí el ángulo de ${\mathrm{52,34}}^{\circ }$, y enfrente de él está el lado desigual, de 55 cm. La altura trazada desde ese vértice parte el triángulo en dos triángulos rectángulos iguales: reparte el ángulo en dos mitades de ${\mathrm{26,17}}^{\circ }$ y el lado desigual en dos mitades de 27,5 cm. Las incógnitas son el perímetro y el área; el lado igual, que hace falta para los dos, lo llamamos $\mathrm{\ell }$, en centímetros.

En uno de esos dos triángulos rectángulos, la mitad del lado desigual es el cateto opuesto a ${\mathrm{26,17}}^{\circ }$ y el lado igual es la hipotenusa, así que los relaciona el seno:
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{sen}\alpha ={\displaystyle \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}}}}$
$\mathrm{sen}{\mathrm{26,17}}^{\circ }={\displaystyle \frac{\mathrm{27,5}}{\mathrm{\ell }}}$
Despejamos $\mathrm{\ell }$, que está en el denominador:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\ell }}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\mathrm{27,5}}{\mathrm{sen}{\mathrm{26,17}}^{\circ }}}={\displaystyle \frac{\mathrm{27,5}}{\mathrm{0,4410}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathrm{62,35}\text{ cm}}\end{array}$
El perímetro son los dos lados iguales más el desigual:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle P}& {\displaystyle =2\mathrm{\ell }+55=2\cdot \mathrm{62,3532}+55}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathrm{179,71}\text{ cm}}\end{array}$
Para el área ya se conocen dos lados y el ángulo que forman, que es justo lo que pide la fórmula del área:
$\boxed{{\displaystyle \acute{\text{A}}\text{rea}={\displaystyle \frac{1}{2}}bc\mathrm{sen}A}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \acute{\text{A}}\text{rea}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\ell }\mathrm{\ell }\mathrm{sen}{\mathrm{52,34}}^{\circ }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{62,3532}\cdot \mathrm{62,3532}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \cdot \mathrm{0,7917}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathrm{1538,94}{\text{cm}}^2}\end{array}$
El triángulo mide 179,71 centímetros de perímetro y 1538,94 centímetros cuadrados de área.