Ejercicio resuelto de Matemáticas 4 ESO

Dado el triángulo de vértices $A$, $B$, $C$, y sabiendo que $A={60}^{\circ }$, $B={45}^{\circ }$ y que $b=20$ m. Resolverlo y calcular su área.

Se conocen dos ángulos y el lado $b$, que es el que está enfrente del ángulo $B$. No es un triángulo rectángulo, así que se resuelve con el teorema del seno; pero antes hace falta el tercer ángulo:
$\boxed{{\displaystyle A+B+C={180}^{\circ }}}$
$C={180}^{\circ }-{60}^{\circ }-{45}^{\circ }={75}^{\circ }$
Ahora el teorema del seno, emparejando cada lado que falta con el $b$, que se conoce:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{\mathrm{sen}A}}={\displaystyle \frac{b}{\mathrm{sen}B}}={\displaystyle \frac{c}{\mathrm{sen}C}}}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle a={\displaystyle \frac{20\cdot \mathrm{sen}{60}^{\circ }}{\mathrm{sen}{45}^{\circ }}}={\displaystyle \frac{20\cdot \mathrm{0,8660}}{\mathrm{0,7071}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathrm{24,49}}\end{array}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle c={\displaystyle \frac{20\cdot \mathrm{sen}{75}^{\circ }}{\mathrm{sen}{45}^{\circ }}}={\displaystyle \frac{20\cdot \mathrm{0,9659}}{\mathrm{0,7071}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathrm{27,32}}\end{array}$
El triángulo ya está resuelto. Para el área se usa la fórmula de los dos lados y el ángulo que forman entre ellos:
$\boxed{{\displaystyle \acute{\text{A}}\text{rea}={\displaystyle \frac{1}{2}}bc\mathrm{sen}A}}$
Los lados $a$ y $b$ forman el ángulo $C$, que es el de 75°, así que se sustituyen esos tres:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \acute{\text{A}}\text{rea}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{24,4949}\cdot 20\cdot \mathrm{sen}{75}^{\circ }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathrm{236,60}}\end{array}$
El triángulo tiene $C={75}^{\circ }$, $a=\mathrm{24,49}$ m y $c=\mathrm{27,32}$ m, y su área es de 236,60 ${\text{m}}^2$.