Ejercicio resuelto de Matemáticas 4 ESO

Calcula la longitud de los lados de un paralelogramo cuyas diagonales son de 20 y 16 m y las diagonales forman entre sí un ángulo de 37°.

Las diagonales de un paralelogramo se cortan por la mitad, así que desde el punto de corte salen cuatro segmentos: dos de 10 m (la mitad de la diagonal de 20 m) y dos de 8 m (la mitad de la de 16 m). Cada lado del paralelogramo cierra un triángulo con dos de esos segmentos.

Al cortarse, las diagonales forman cuatro ángulos: dos de 37° y dos de ${180}^{\circ }-{37}^{\circ }={143}^{\circ }$. Por eso salen DOS lados distintos.
En los dos casos se conocen dos lados y el ángulo que forman, así que se aplica el teorema del coseno:
$\boxed{{\displaystyle a^2=b^2+c^2-2bc\cos A}}$
Con el ángulo de 37° sale el lado corto:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle l_1^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={10}^2+8^2-2\cdot 10\cdot 8\cdot \cos {37}^{\circ }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =100+64-160\cdot \cos {37}^{\circ }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathrm{36,22}}\end{array}$
$l_1=\sqrt{\mathrm{36,22}}=\mathrm{6,02}$
Y con el de 143°, el lado largo. Ahora el coseno es negativo, porque 143° es obtuso, así que ese término suma en vez de restar:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle l_2^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={10}^2+8^2-2\cdot 10\cdot 8\cdot \cos {143}^{\circ }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =100+64-160\cdot \cos {143}^{\circ }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathrm{291,78}}\end{array}$
$l_2=\sqrt{\mathrm{291,78}}=\mathrm{17,08}$
Los lados del paralelogramo miden 6,02 m y 17,08 m.