Ejercicio resuelto de Matemáticas 4 ESO

Halla el área de un hexágono regular de lado 10 cm.

El hexágono se parte en seis triángulos iguales trazando los segmentos que van del centro a cada vértice. Cada uno es isósceles y su ángulo en el centro es la sexta parte de la vuelta completa.

${\displaystyle \frac{{360}^{\circ }}{6}}={60}^{\circ }$
La apotema es la altura de ese triángulo isósceles: lo parte en dos triángulos rectángulos iguales, con la mitad del ángulo central, 30°, y con la mitad del lado, 5 cm, como cateto opuesto.
Respecto a ese ángulo de 30°, el cateto opuesto mide 5 cm y el contiguo es la apotema $a$, así que la razón que los relaciona es la tangente:
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{tg}\alpha ={\displaystyle \frac{\text{opuesto}}{\text{contiguo}}}}}$
$\mathrm{tg}{30}^{\circ }={\displaystyle \frac{5}{a}}$
Despejamos la apotema:
$a={\displaystyle \frac{5}{\mathrm{tg}{30}^{\circ }}}={\displaystyle \frac{5}{\mathrm{0,5774}}}=\mathrm{8,66}$
El perímetro son los seis lados: $6\cdot 10=60$ cm. Con el perímetro y la apotema ya se puede aplicar la fórmula del área de un polígono regular:
$\boxed{{\displaystyle \acute{\text{A}}\text{rea}={\displaystyle \frac{\text{per}\acute{\text{ı}}\text{metro}\cdot \text{apotema}}{2}}}}$
$\acute{\text{A}}\text{rea}={\displaystyle \frac{60\cdot \mathrm{8,6603}}{2}}=\mathrm{259,81}$
El área del hexágono es de 259,81 ${\text{cm}}^2$.