Ejercicio resuelto de Matemáticas 4 ESO

Halla el área de un dodecágono regular de lado 16 cm.

El dodecágono tiene doce lados, así que se parte en doce triángulos iguales trazando los segmentos que van del centro a cada vértice. Cada uno es isósceles, y su ángulo en el centro es la doceava parte de la vuelta completa.

${\displaystyle \frac{{360}^{\circ }}{12}}={30}^{\circ }$
La apotema es la altura de ese triángulo isósceles y lo parte en dos triángulos rectángulos iguales: cada uno se queda con la mitad del ángulo central, 15°, y con la mitad del lado, 8 cm.
Respecto a ese ángulo de 15°, el cateto opuesto son los 8 cm y el contiguo es la apotema $a$, así que la razón que los relaciona es la tangente:
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{tg}\alpha ={\displaystyle \frac{\text{opuesto}}{\text{contiguo}}}}}$
$\mathrm{tg}{15}^{\circ }={\displaystyle \frac{8}{a}}$
Despejamos la apotema, que está en el denominador:
$a={\displaystyle \frac{8}{\mathrm{tg}{15}^{\circ }}}={\displaystyle \frac{8}{\mathrm{0,2679}}}=\mathrm{29,86}$
El perímetro son los doce lados: $12\cdot 16=192$ cm. Ya se puede aplicar la fórmula del área de un polígono regular:
$\boxed{{\displaystyle \acute{\text{A}}\text{rea}={\displaystyle \frac{\text{per}\acute{\text{ı}}\text{metro}\cdot \text{apotema}}{2}}}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \acute{\text{A}}\text{rea}={\displaystyle \frac{192\cdot \mathrm{29,85641}}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathrm{2866,22}}\end{array}$
El área del dodecágono es de 2866,22 ${\text{cm}}^2$.