Ejercicio resuelto de Matemáticas 4 ESO

Un biólogo se encuentra en el puerto de Somiedo haciendo un seguimiento de los osos pardos. Cuenta con la ayuda de un cámara y un piloto que vuelan en un helicóptero, manteniéndose a una altura constante de $40\sqrt{3}$ m. En el momento que describe la figura, el cámara ve desde el helicóptero al oso con un ángulo de depresión (ángulo que forma su visual con la horizontal marcado en el dibujo) de 60°. El biólogo dirige una visual al helicóptero que forma con el suelo un ángulo de 45°. Calcular la distancia $d$ entre el biólogo y el oso.

Llamamos $P$ al punto del suelo que está justo debajo del helicóptero. Hay TRES triángulos: dos verticales, el que forman el helicóptero, $P$ y el oso, y el que forman el helicóptero, $P$ y el biólogo; y uno tumbado en el suelo, el de $P$, el oso y el biólogo, que es rectángulo porque la figura marca 90° entre las dos direcciones.
En el primero, el ángulo de depresión de 60° que mide el cámara desde el helicóptero es el mismo que el de elevación desde el oso, porque son ángulos alternos entre dos horizontales. Respecto a ese ángulo de 60°, la altura del helicóptero es el cateto opuesto y la distancia $d_1$ del oso a $P$ es el contiguo:
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{tg}\alpha ={\displaystyle \frac{\text{opuesto}}{\text{contiguo}}}}}$
$\mathrm{tg}{60}^{\circ }={\displaystyle \frac{40\sqrt{3}}{d_1}}$
Despejamos $d_1$, que está en el denominador, y usamos que la tangente de 60° vale $\sqrt{3}$:
$d_1={\displaystyle \frac{40\sqrt{3}}{\mathrm{tg}{60}^{\circ }}}={\displaystyle \frac{40\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}=40$
En el segundo triángulo vertical, el ángulo es de 45° y su tangente vale 1:
$\mathrm{tg}{45}^{\circ }={\displaystyle \frac{40\sqrt{3}}{d_2}}$
$d_2={\displaystyle \frac{40\sqrt{3}}{\mathrm{tg}{45}^{\circ }}}=40\sqrt{3}=\mathrm{69,28}$
Ya tenemos los dos catetos del triángulo del suelo: 40 m de $P$ al oso y $40\sqrt{3}$ m de $P$ al biólogo, con el ángulo recto en $P$. La distancia $d$ es su hipotenusa, así que se aplica el teorema de Pitágoras:
$\boxed{{\displaystyle a^2+b^2=c^2}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle d^2={40}^2+{\left(40\sqrt{3}\right)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1600+4800=6400}\end{array}$
$d=\sqrt{6400}=80$
El biólogo y el oso están a 80 m: el resultado sale exacto.