Ejercicio resuelto de Costes y umbral de rentabilidad · Economía

La empresa “NEPTUNO” posee una sala de conciertos de 50 localidades cuyos costes fijos mensuales ascienden a 1.800 euros y los costes variables por cada entrada vendida ascienden a 2 euros. Vende cada entrada a 8 euros. La empresa solo realiza un pase por día. Según su experiencia, la empresa vende 20 entradas diarias. En función de la información anterior, calcule:

a) El número de entradas que debe vender al mes para no tener pérdidas (punto muerto o umbral de rentabilidad). [1 punto]

b) El beneficio mensual de la empresa, suponiendo que el mes es de 30 días. [0,5 puntos]

c) Si vende 20 entradas diarias, determine el precio mínimo al que debe vender las entradas para no tener pérdidas mensuales. [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{entradas}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{vender}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{mes}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{tener}}\mathbf{\text{p}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rdidas}}\mathbf{\text{(punto}}\mathbf{\text{muerto}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{umbral}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rentabilidad).}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El punto muerto es el número de entradas mensuales $Q^{\ast }$ para el que los ingresos totales igualan a los costes totales, con $P$ el precio de la entrada, $C_F$ los costes fijos del mes y $C_{vu}$ el coste variable de cada entrada:

$IT=CT\Rightarrow P\cdot Q^{\ast }=C_F+C_{vu}\cdot Q^{\ast }$

$Q^{\ast }={\displaystyle \frac{C_F}{P-C_{vu}}}$

$8Q^{\ast }=2Q^{\ast }+1.800$

$6Q^{\ast }=1.800\Rightarrow Q^{\ast }={\displaystyle \frac{1.800}{8-2}}=300\text{ entradas}$

«NEPTUNO» debe vender 300 entradas al mes para no tener pérdidas.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{mensual}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa,}}\mathbf{\text{suponiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{mes}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{30}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Con un pase diario y 20 entradas vendidas al día, las entradas vendidas al mes son:

$Q=20\cdot 30=600\text{ entradas}$

El beneficio es la diferencia entre los ingresos totales y los costes totales:

$IT=P\cdot Q$

$IT=8\cdot 600=4.800$ €

$CT=C_F+C_{vu}\cdot Q$

$CT=1.800+2\cdot 600=3.000$ €

$B=IT-CT$

$B=4.800-3.000=1.800$ €

El beneficio mensual de la empresa es de 1.800 €. Se explica porque vende el doble de entradas que las 300 del punto muerto.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{vende}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{entradas}}\mathbf{\text{diarias,}}\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{vender}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{entradas}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{tener}}\mathbf{\text{p}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rdidas}}\mathbf{\text{mensuales.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El precio mínimo es aquel para el que los ingresos igualan exactamente a los costes totales de las 600 entradas, que son 3.000 €. Llamando $P_{\min }$ a ese precio:

$IT=CT\Rightarrow P_{\min }\cdot Q=CT$

$600P_{\min }=3.000\Rightarrow P_{\min }={\displaystyle \frac{3.000}{600}}=5$ €/entrada

El precio mínimo al que debe vender las entradas para no tener pérdidas mensuales es de 5 € por entrada, tres euros por debajo del precio actual.