Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

PROBLEMA 2. (3 puntos)
En una universidad el alumnado puede cursar una asignatura optativa o bien en modalidad presencial o bien en modalidad virtual. Se sabe que:

El 60 % del alumnado elige la modalidad presencial.
Entre quienes eligen modalidad virtual, el 20 % aprueba la asignatura.
Entre quienes eligen modalidad presencial, el 35 % aprueba la asignatura.

Se elige al azar un estudiante de la asignatura.

(a) (1 punto) Calcula la probabilidad de que el estudiante seleccionado apruebe la asignatura.
(b) (1 punto) Sabiendo que el estudiante ha aprobado, calcula la probabilidad de que haya cursado la asignatura en modalidad presencial.
(c) (1 punto) ¿Es más probable que un estudiante que ha aprobado haya cursado la asignatura en modalidad presencial o virtual? Justifica la respuesta.

Se nombran los sucesos que intervienen. La primera etapa del experimento es la modalidad elegida y la segunda, el resultado en la asignatura:

$P=\text{\ el estudiante cursa la asignatura en modalidad presencial}$

$V=\text{\ el estudiante cursa la asignatura en modalidad virtual}$

$A=\text{\ el estudiante aprueba la asignatura}$

Como solo hay dos modalidades, los sucesos $P$ y $V$ forman un sistema completo y sus probabilidades suman 1:

$P(P)=0{,}60\Rightarrow P(V)=1-0{,}60=0{,}40$

Los otros dos datos del enunciado son probabilidades condicionadas, porque se refieren a quienes ya han elegido una modalidad:

$P(A\mid P)=0{,}35,\qquad P(A\mid V)=0{,}20$

Con ellos se construye el diagrama de árbol de las dos etapas.



$\textbf{(a) (1 punto) Calcula la probabilidad de que el estudiante seleccionado apruebe la asignatura.}$

Se puede aprobar habiendo elegido cualquiera de las dos modalidades, así que se aplica el teorema de la probabilidad total sumando las dos ramas del árbol que terminan en aprobado:

$P(A)=P(P)\cdot P(A\mid P)+P(V)\cdot P(A\mid V)$

$P(A)=0{,}60\cdot0{,}35+0{,}40\cdot0{,}20=0{,}21+0{,}08=0{,}29$

La probabilidad de que el estudiante seleccionado apruebe la asignatura es $0{,}29$, es decir, un $29\%$.

$\textbf{(b) (1 punto) Sabiendo que el estudiante ha aprobado, calcula la probabilidad de que haya cursado la asignatura en modalidad presencial.}$

Ahora se conoce el resultado de la segunda etapa y se pregunta por la primera, de modo que se aplica el teorema de Bayes: se divide la rama que interesa entre la probabilidad total del apartado anterior.

$P(P\mid A)=\dfrac{P(P)\cdot P(A\mid P)}{P(A)}=\dfrac{0{,}60\cdot0{,}35}{0{,}29}=\dfrac{0{,}21}{0{,}29}$

$P(P\mid A)=\dfrac{21}{29}=0{,}7241$

Sabiendo que el estudiante ha aprobado, la probabilidad de que haya cursado la asignatura en modalidad presencial es $0{,}7241$, es decir, un $72{,}41\%$.

$\textbf{(c) (1 punto) ¿Es más probable que un estudiante que ha aprobado haya cursado la asignatura en modalidad presencial o virtual? Justifica la respuesta.}$

Hay que comparar la probabilidad del apartado anterior con la de la otra modalidad, que se calcula igual:

$P(V\mid A)=\dfrac{P(V)\cdot P(A\mid V)}{P(A)}=\dfrac{0{,}40\cdot0{,}20}{0{,}29}=\dfrac{0{,}08}{0{,}29}=\dfrac{8}{29}=0{,}2759$

También podía obtenerse sin más cálculos, porque las dos modalidades son sucesos contrarios dentro del conjunto de quienes aprueban:

$P(V\mid A)=1-P(P\mid A)=1-0{,}7241=0{,}2759$

Comparando ambos valores:

$0{,}7241>0{,}2759$

Es más probable que un estudiante que ha aprobado haya cursado la asignatura en modalidad presencial. La razón está en los datos de partida: la modalidad presencial la elige más gente y además en ella se aprueba en mayor proporción, así que las dos cosas empujan en el mismo sentido.