Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Galicia · 2026

PREGUNTA 4. FÍSICA DEL SIGLO XX. (2,5 puntos)

4.1. Indique y justifique la respuesta correcta. (1 punto)

Desde la plataforma de un aeropuerto medimos la longitud de un avión supersónico que resulta ser de $\mathrm{\ell }$ m. Si repitiésemos la medida cuando el avión está en vuelo con una velocidad v, el resultado obtenido sería: a) una longitud mayor que $\mathrm{\ell }$; b) una longitud menor que $\mathrm{\ell }$; c) una longitud igual que $\mathrm{\ell }$; d) depende de si el movimiento es acelerado o no.

4.2. Resuelva uno de estos problemas: (1,5 puntos)

4.2.1. El yodo-131 es un isótopo radioactivo que se usa para el tratamiento del hipertiroidismo y tiene un período de semidesintegración de 8 días. Si inicialmente se dispone de una muestra de 100 mg de yodo-131, calcule:

a) la actividad inicial

b) la cantidad (en mg) que queda sin desintegrar después de 30 días

4.2.2. Sobre una célula fotoeléctrica de wolframio se hace incidir una radiación monocromática de $\lambda =200$ nm. Si la frecuencia umbral de este material es $\mathrm{1,3}\cdot {10}^{15}$ Hz, calcule:

a) la velocidad máxima de los electrones arrancados.

b) la longitud de onda de De Broglie asociada a estos electrones emitidos.

DATOS: $N_A=\mathrm{6,022}\cdot {10}^{23}\mathrm{m}\mathrm{o}{\mathrm{l}}^{-1}$, $c=3\times {10}^8\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$; $h=\mathrm{6,63}\times {10}^{-34}$ J·s; $q_e=-\mathrm{1,60}\times {10}^{-19}$ C, $m_e=\mathrm{9,11}\times {10}^{-31}$ kg

$\mathbf{\text{4.1.}}\mathbf{\text{Longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{avi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{supers}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{nico}}\mathbf{\text{medida}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{vuelo.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La respuesta correcta es la $\mathbf{\text{b):}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{menor}}\mathbf{\text{que}}\mathrm{\ell }$.

Se trata de la $\mathbf{\text{contracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{longitudes}}$ de la relatividad especial. La longitud $\mathrm{\ell }$ medida con el avión en la plataforma es su longitud propia, la que mide un observador en reposo respecto del objeto. Cuando el avión pasa volando a velocidad $v$, el observador de la plataforma mide:

${\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{\ell }\sqrt{1-{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\ell }}{\gamma }}$

Como el radicando es menor que 1 para cualquier $v$ distinta de cero, se cumple ${\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}<\mathrm{\ell }$: el avión se mide $\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{corto}}$ en la dirección del movimiento. Las dimensiones perpendiculares no cambian.

Conviene poner números para ver de qué se está hablando. Un avión supersónico a Mach 2 vuela a unos 680 m/s:

${\displaystyle \frac{v}{c}}={\displaystyle \frac{680}{3\cdot {10}^8}}=\mathrm{2,3}\cdot {10}^{-6}⟹\sqrt{1-(\mathrm{2,3}\cdot {10}^{-6}{)}^2}\approx 1-\mathrm{2,6}\cdot {10}^{-12}$

En un avión de 60 m el acortamiento sería de unas dos diezmilmillonésimas de milímetro, absolutamente inmedible. El efecto es real y la respuesta correcta sigue siendo la b), pero solo se vuelve apreciable a velocidades comparables a la de la luz.

La opción a) es falsa porque la contracción nunca alarga; la c) lo sería solo en el límite $v\ll c$, pero estrictamente no es cierta; y la d) también, porque la contracción depende únicamente de la velocidad instantánea, no de si el movimiento es acelerado o uniforme.

$\mathbf{\text{4.2.1.}}\mathbf{\text{Yodo-131,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{per}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{odo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{semidesintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{8}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as.}}\mathbf{\text{(1,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Actividad}}\mathbf{\text{inicial.}}$

La actividad es el número de desintegraciones por segundo, y vale:

$A_0=\lambda N_0$

Hacen falta las dos cantidades. La constante de desintegración se obtiene del período de semidesintegración, pasado a segundos:

$T_{1\mathrm{/}2}=8\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}=8\cdot 24\cdot 3600=\mathrm{6,912}\cdot {10}^5\mathrm{s}$

$\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{T_{1\mathrm{/}2}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,693}}{\mathrm{6,912}\cdot {10}^5}}=\mathrm{1,00}\cdot {10}^{-6}{\mathrm{s}}^{-1}$

El número inicial de núcleos sale de la masa y del número de Avogadro, con masa molar 131 g/mol:

$N_0={\displaystyle \frac{m}{M}}{N}_A={\displaystyle \frac{\mathrm{0,100}}{131}}\cdot \mathrm{6,022}\cdot {10}^{23}=\mathrm{7,63}\cdot {10}^{-4}\cdot \mathrm{6,022}\cdot {10}^{23}$

$N_0=\mathrm{4,60}\cdot {10}^{20}\text{n}\acute{\text{u}}\text{cleos}$

$A_0=\mathrm{1,00}\cdot {10}^{-6}\cdot \mathrm{4,60}\cdot {10}^{20}$

$\boxed{{\displaystyle A_0=\mathrm{4,61}\cdot {10}^{14}\mathrm{B}\mathrm{q}}}$

Es una actividad enorme, del orden de $\mathrm{1,2}\cdot {10}^4$ curios. Las dosis terapéuticas reales de yodo-131 son de milicurios, no de gramos: 100 mg de yodo-131 puro es una cantidad puramente académica.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Cantidad}}\mathbf{\text{sin}}\mathbf{\text{desintegrar}}\mathbf{\text{despu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{30}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as.}}$

La ley de desintegración radiactiva vale igual para el número de núcleos que para la masa, porque una es proporcional a la otra:

$m=m_0{e}^{-\lambda t}=m_0{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{t\mathrm{/}{T}_{1\mathrm{/}2}}$

La segunda forma es más cómoda aquí, porque evita pasar los días a segundos:

${\displaystyle \frac{t}{T_{1\mathrm{/}2}}}={\displaystyle \frac{30}{8}}=\mathrm{3,75}\text{per}\acute{\text{ı}}\text{odos}$

$m=100\cdot 2^{-\mathrm{3,75}}=100\cdot \mathrm{0,0743}$

$\boxed{{\displaystyle m=\mathrm{7,43}\mathrm{m}\mathrm{g}}}$

Se puede comprobar el orden de magnitud sin calculadora: en 24 días (tres períodos) quedaría la octava parte, 12,5 mg, y en 32 días (cuatro períodos) la dieciseisava, 6,25 mg. Los 30 días caen entre ambos y más cerca del segundo, así que 7,43 mg encaja.

$\mathbf{\text{4.2.2.}}\mathbf{\text{Efecto}}\mathbf{\text{fotoel}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{c}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lula}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{wolframio.}}\mathbf{\text{(1,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Velocidad}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{electrones}}\mathbf{\text{arrancados.}}$

La ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico reparte la energía del fotón entre el trabajo de extracción y la energía cinética del electrón:

$h\nu =W_0+E_{c,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}=h{\nu }_0+{\displaystyle \frac{1}{2}}{m}_e{v}^2$

La frecuencia de la radiación incidente se obtiene de su longitud de onda:

$\nu ={\displaystyle \frac{c}{\lambda }}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{200\cdot {10}^{-9}}}=\mathrm{1,5}\cdot {10}^{15}\mathrm{H}\mathrm{z}$

Antes de seguir conviene comprobar que hay emisión: $\nu =\mathrm{1,5}\cdot {10}^{15}\mathrm{H}\mathrm{z}>{\nu }_0=\mathrm{1,3}\cdot {10}^{15}\mathrm{H}\mathrm{z}$, luego sí la hay.

Energía del fotón y trabajo de extracción:

$E=h\nu =\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\cdot \mathrm{1,5}\cdot {10}^{15}=\mathrm{9,95}\cdot {10}^{-19}\mathrm{J}$

$W_0=h{\nu }_0=\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\cdot \mathrm{1,3}\cdot {10}^{15}=\mathrm{8,62}\cdot {10}^{-19}\mathrm{J}$

Energía cinética máxima:

$E_{c,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}=\mathrm{9,95}\cdot {10}^{-19}-\mathrm{8,62}\cdot {10}^{-19}=\mathrm{1,33}\cdot {10}^{-19}\mathrm{J}$

Que en electronvoltios son $\mathrm{1,33}\cdot {10}^{-19}\mathrm{/}\mathrm{1,60}\cdot {10}^{-19}=\mathrm{0,83}$ eV. Y de ahí la velocidad:

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{2E_{c,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}}{m_e}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{1,33}\cdot {10}^{-19}}{\mathrm{9,11}\cdot {10}^{-31}}}}=\sqrt{\mathrm{2,91}\cdot {10}^{11}}$

$\boxed{{\displaystyle v=\mathrm{5,40}\cdot {10}^5\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}}}$

Es una velocidad de unas 5400 veces menor que la de la luz, así que el tratamiento no relativista está plenamente justificado.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{De}}\mathbf{\text{Broglie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esos}}\mathbf{\text{electrones.}}$

La hipótesis de De Broglie asocia a toda partícula en movimiento una onda de longitud:

${\lambda }_{dB}={\displaystyle \frac{h}{p}}={\displaystyle \frac{h}{m_{e}v}}$

${\lambda }_{dB}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}}{\mathrm{9,11}\cdot {10}^{-31}\cdot \mathrm{5,40}\cdot {10}^5}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}}{\mathrm{4,92}\cdot {10}^{-25}}}$

$\boxed{{\displaystyle {\lambda }_{dB}=\mathrm{1,35}\cdot {10}^{-9}\mathrm{m}=\mathrm{1,35}\mathrm{n}\mathrm{m}}}$

Merece la pena comparar: la radiación que arrancó los electrones tenía 200 nm y la onda asociada a los electrones emitidos mide 1,35 nm, unas 150 veces menos. Esa longitud de onda tan pequeña, del orden de las distancias interatómicas, es justo lo que hace posible la difracción de electrones por cristales y, en última instancia, el microscopio electrónico.