Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2021

A.5 (2 puntos). Un material posee un sistema de tres niveles energéticos electrónicos (nivel fundamental, primer nivel, y segundo nivel). Para que un electrón pase desde el nivel fundamental al segundo nivel, el material absorbe radiación de $450\mathrm{n}\mathrm{m}$; tras lo cual el material emite radiación de $600\mathrm{n}\mathrm{m}$ debido al decaimiento del primer nivel hasta el fundamental.

a) Determine las diferencias de energía entre el primer nivel y el nivel fundamental, y entre el segundo nivel y el nivel fundamental, expresadas en electrón-voltios.

b) Calcule la energía por unidad de tiempo que produce la emisión si el material emite $4\cdot {10}^{15}$ fotones ${\mathrm{s}}^{-1}$.

Datos: Valor absoluto de la carga del electrón, $e=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\mathrm{C}$; Constante de Planck, $h=\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\mathrm{J}\mathrm{s}$; Velocidad de la luz en el vacío, $c=3\cdot {10}^8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$.

La idea física clave es la cuantización de la energía: un electrón solo puede ocupar niveles de energía discretos. Cuando absorbe un fotón salta a un nivel superior, y cuando decae a un nivel inferior emite un fotón. En ambos casos la energía del fotón coincide exactamente con la diferencia de energía entre los dos niveles implicados (hipótesis de Planck-Bohr):

$\mathrm{\Delta }E=E_{\text{fot}\acute{\text{o}}\text{n}}=h\nu ={\displaystyle \frac{hc}{\lambda }}$

donde $h$ es la constante de Planck, $c$ la velocidad de la luz y $\lambda$ la longitud de onda de la radiación.

El esquema de niveles y transiciones es el siguiente:



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Diferencias}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{primer}}\mathbf{\text{nivel}}\mathit{-}\mathbf{\text{fundamental}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{segundo}}\mathbf{\text{nivel}}\mathit{-}\mathbf{\text{fundamental,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n-voltios.}}$

$\mathbf{\text{Transici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{absorci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{(fundamental}}$ $\to$ $\mathbf{\text{segundo}}\mathbf{\text{nivel).}}$

El material absorbe radiación de ${\lambda }_2=450\mathrm{n}\mathrm{m}=450\cdot {10}^{-9}\mathrm{m}$ para llevar el electrón desde el nivel fundamental hasta el segundo nivel. Por tanto, la diferencia de energía entre el segundo nivel y el fundamental es la energía de ese fotón:

$\mathrm{\Delta }{E}_2=E_2-E_0={\displaystyle \frac{hc}{{\lambda }_2}}$

Sustituyendo los valores con sus unidades:

$\mathrm{\Delta }{E}_2={\displaystyle \frac{\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\mathrm{J}\mathrm{s}\cdot 3\cdot {10}^8\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}}{450\cdot {10}^{-9}\mathrm{m}}}=\mathrm{4,42}\cdot {10}^{-19}\mathrm{J}$

Para expresarla en electrón-voltios dividimos entre el valor absoluto de la carga del electrón, ya que $1\mathrm{e}\mathrm{V}=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\mathrm{J}$:

$\mathrm{\Delta }{E}_2={\displaystyle \frac{\mathrm{4,42}\cdot {10}^{-19}\mathrm{J}}{\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\mathrm{J}\mathrm{/}\mathrm{e}\mathrm{V}}}=\mathrm{2,76}\mathrm{e}\mathrm{V}$

$\boxed{{\displaystyle E_2-E_0=\mathrm{4,42}\cdot {10}^{-19}\mathrm{J}\approx \mathrm{2,76}\mathrm{e}\mathrm{V}}}$

$\mathbf{\text{Transici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{emisi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{(primer}}\mathbf{\text{nivel}}$ $\to$ $\mathbf{\text{fundamental).}}$

El material emite radiación de ${\lambda }_1=600\mathrm{n}\mathrm{m}=600\cdot {10}^{-9}\mathrm{m}$ al decaer el electrón desde el primer nivel hasta el fundamental. La diferencia de energía entre el primer nivel y el fundamental es la energía del fotón emitido:

$\mathrm{\Delta }{E}_1=E_1-E_0={\displaystyle \frac{hc}{{\lambda }_1}}$

Sustituyendo los valores:

$\mathrm{\Delta }{E}_1={\displaystyle \frac{\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\mathrm{J}\mathrm{s}\cdot 3\cdot {10}^8\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}}{600\cdot {10}^{-9}\mathrm{m}}}=\mathrm{3,31}\cdot {10}^{-19}\mathrm{J}$

Y en electrón-voltios:

$\mathrm{\Delta }{E}_1={\displaystyle \frac{\mathrm{3,31}\cdot {10}^{-19}\mathrm{J}}{\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\mathrm{J}\mathrm{/}\mathrm{e}\mathrm{V}}}=\mathrm{2,07}\mathrm{e}\mathrm{V}$

$\boxed{{\displaystyle E_1-E_0=\mathrm{3,31}\cdot {10}^{-19}\mathrm{J}\approx \mathrm{2,07}\mathrm{e}\mathrm{V}}}$

Observación coherente con el modelo: como ${\lambda }_1>{\lambda }_2$, el fotón emitido en el decaimiento al primer nivel tiene menor energía que el absorbido para alcanzar el segundo nivel, lo que confirma que $E_1$ está por debajo de $E_2$.



La energía por unidad de tiempo es la potencia. Si el material emite $N$ fotones por segundo y cada fotón de emisión transporta la energía $\mathrm{\Delta }{E}_1$ (la de la transición de $600\mathrm{n}\mathrm{m}$), la potencia emitida es:

$P=N\cdot E_{\text{fot}\acute{\text{o}}\text{n}}=N\cdot \mathrm{\Delta }{E}_1$

donde $N=4\cdot {10}^{15}{\mathrm{s}}^{-1}$ y $\mathrm{\Delta }{E}_1=\mathrm{3,31}\cdot {10}^{-19}\mathrm{J}$.

Sustituyendo los valores con sus unidades:

$P=4\cdot {10}^{15}{\mathrm{s}}^{-1}\cdot \mathrm{3,31}\cdot {10}^{-19}\mathrm{J}=\mathrm{1,33}\cdot {10}^{-3}\mathrm{W}$

donde hemos usado que $1\mathrm{J}\mathrm{/}\mathrm{s}=1\mathrm{W}$.

$\boxed{{\displaystyle P=\mathrm{1,33}\cdot {10}^{-3}\mathrm{W}}}$