Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2020

B.5 (2 puntos). Un sistema atómico que consta de tres niveles energéticos se utiliza para obtener radiación láser. Con respecto al primer nivel (nivel fundamental), el segundo y el tercer nivel se sitúan a $\mathrm{2,07}\mathrm{e}\mathrm{V}$ y $\mathrm{2,76}\mathrm{e}\mathrm{V}$, respectivamente. La absorción se produce desde el primer nivel al tercero, mientras que la emisión láser se produce por la transición entre el segundo nivel y el fundamental.

a) Halle la longitud de onda y la frecuencia del fotón necesario para que se produzca la absorción (transición 1 → 3).
b) Calcule la longitud de onda de la radiación emitida (transición 2 → 1) y la potencia del láser si se emiten $2\cdot {10}^{10}$ fotones/s.

Datos: Constante de Planck, $h=\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\mathrm{J}\mathrm{s}$; Velocidad de la luz en el vacío, $c=3\cdot {10}^8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$; Valor absoluto de la carga del electrón, $e=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\mathrm{C}$.

$\mathbf{\text{B.5}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos).}}\mathbf{\text{Un}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{at}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{mico}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{niveles}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ticos}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{utiliza}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{radiaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ser.}}\mathbf{\text{Respecto}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{fundamental,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{segundo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tercer}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{sit}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{an}}\mathbf{\text{a}}\mathrm{2,07}\mathrm{e}\mathrm{V}\mathbf{\text{y}}\mathrm{2,76}\mathrm{e}\mathrm{V}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{respectivamente.}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{absorci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{produce}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{transici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}1\to 3\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{emisi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ser}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{transici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}2\to 1.$

Recordamos que un fotón intercambiado entre dos niveles transporta una energía igual a la diferencia entre ellos (hipótesis de Planck-Einstein):

$\mathrm{\Delta }E=E_{\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{l}}-E_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{l}}=hf={\displaystyle \frac{hc}{\lambda }}$

Conviene pasar las energías de los niveles de electronvoltios a julios usando $1\mathrm{e}\mathrm{V}=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\mathrm{J}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{fot}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{necesario}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{produzca}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{absorci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{(transici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}1\to 3\mathbf{\text{).}}$

En la absorción $1\to 3$ el átomo pasa del nivel fundamental al tercer nivel, de modo que el fotón debe aportar exactamente la energía de separación entre ambos:

$\mathrm{\Delta }{E}_{13}=E_3-E_1=\mathrm{2,76}\mathrm{e}\mathrm{V}$

Expresada en julios:

$\mathrm{\Delta }{E}_{13}=\mathrm{2,76}\mathrm{e}\mathrm{V}\cdot \mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\mathrm{J}\mathrm{/}\mathrm{e}\mathrm{V}=\mathrm{4,416}\cdot {10}^{-19}\mathrm{J}$

La frecuencia del fotón se obtiene de $\mathrm{\Delta }{E}_{13}=hf$. Despejando:

$f={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }{E}_{13}}{h}}={\displaystyle \frac{\mathrm{4,416}\cdot {10}^{-19}\mathrm{J}}{\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\mathrm{J}\mathrm{s}}}=\mathrm{6,66}\cdot {10}^{14}\mathrm{H}\mathrm{z}$

La longitud de onda se obtiene de $c=\lambda f$, es decir, $\lambda ={\displaystyle \frac{c}{f}}={\displaystyle \frac{hc}{\mathrm{\Delta }{E}_{13}}}$. Sustituyendo los valores:

$\lambda ={\displaystyle \frac{\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\mathrm{J}\mathrm{s}\cdot 3\cdot {10}^8\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}}{\mathrm{4,416}\cdot {10}^{-19}\mathrm{J}}}=\mathrm{4,50}\cdot {10}^{-7}\mathrm{m}$

Por tanto, el fotón de absorción tiene:

$\boxed{{\displaystyle f=\mathrm{6,66}\cdot {10}^{14}\mathrm{H}\mathrm{z}\lambda =\mathrm{4,50}\cdot {10}^{-7}\mathrm{m}=450\mathrm{n}\mathrm{m}}}$

Se trata de luz visible en la zona del azul.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{radiaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{emitida}}\mathbf{\text{(transici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}2\to 1\mathbf{\text{)}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{potencia}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ser}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{emiten}}2\cdot {10}^{10}\mathbf{\text{fotones/s.}}$

En la emisión láser $2\to 1$ el átomo cae del segundo nivel al fundamental, emitiendo un fotón cuya energía es la separación entre esos dos niveles:

$\mathrm{\Delta }{E}_{21}=E_2-E_1=\mathrm{2,07}\mathrm{e}\mathrm{V}=\mathrm{2,07}\cdot \mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\mathrm{J}=\mathrm{3,312}\cdot {10}^{-19}\mathrm{J}$

La longitud de onda de la radiación emitida es:

${\lambda }_{21}={\displaystyle \frac{hc}{\mathrm{\Delta }{E}_{21}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\mathrm{J}\mathrm{s}\cdot 3\cdot {10}^8\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}}{\mathrm{3,312}\cdot {10}^{-19}\mathrm{J}}}=\mathrm{6,01}\cdot {10}^{-7}\mathrm{m}$

$\boxed{{\displaystyle {\lambda }_{21}=\mathrm{6,01}\cdot {10}^{-7}\mathrm{m}=601\mathrm{n}\mathrm{m}}}$

que corresponde a luz visible de color naranja.

Para la potencia, observamos que la potencia del láser es la energía total emitida por unidad de tiempo. Si cada segundo se emiten $N=2\cdot {10}^{10}$ fotones, cada uno con energía $\mathrm{\Delta }{E}_{21}$, la energía emitida por segundo es:

$P=N\cdot \mathrm{\Delta }{E}_{21}$

Sustituyendo los valores:

$P=2\cdot {10}^{10}{\mathrm{s}}^{-1}\cdot \mathrm{3,312}\cdot {10}^{-19}\mathrm{J}=\mathrm{6,62}\cdot {10}^{-9}\mathrm{W}$

Por tanto, la potencia del láser es:

$\boxed{{\displaystyle P=\mathrm{6,62}\cdot {10}^{-9}\mathrm{W}=\mathrm{6,62}\mathrm{n}\mathrm{W}}}$