Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2026

Problema, BLOQUE D: Física Nuclear y de Partículas
Este bloque consta de 2 problemas. Debes responder solo a uno.
D1.- Sobre la superficie de un metal incide radiación electromagnética formada por fotones de longitud de onda $\lambda$=500 nm. La longitud de onda umbral correspondiente a ese metal es ${\lambda }_{um}$=612 nm.

a) Decide si, con esa radiación incidente, se emiten o no electrones desde el metal. Justifica tu respuesta. (0.50 puntos)
b) En caso de que se produzca emisión, calcula la velocidad máxima de los electrones arrancados. (1.00 punto)
c) Supón ahora que el trabajo de extracción del metal se hace el doble del valor anterior. Determina la frecuencia mínima que debe tener la radiación incidente para que se siga produciendo emisión fotoeléctrica. (1.00 punto)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Decide}}\mathbf{\text{si,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{radiaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{incidente,}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{emiten}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{electrones}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{metal.}}\mathbf{\text{Justifica}}\mathbf{\text{tu}}\mathbf{\text{respuesta.}}\mathbf{\text{(0.50}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Hay emisión fotoeléctrica cuando la energía de cada fotón supera el trabajo de extracción del metal. Como la energía del fotón es inversamente proporcional a la longitud de onda, la condición se puede escribir directamente sobre las longitudes de onda:

$E_{\text{fot}\acute{\text{o}}\text{n}}={\displaystyle \frac{hc}{\lambda }},W={\displaystyle \frac{hc}{{\lambda }_{um}}}$

$E_{\text{fot}\acute{\text{o}}\text{n}}>W⟺{\displaystyle \frac{hc}{\lambda }}>{\displaystyle \frac{hc}{{\lambda }_{um}}}⟺\lambda <{\lambda }_{um}$

$\lambda =500\mathrm{n}\mathrm{m}<{\lambda }_{um}=612\mathrm{n}\mathrm{m}$

Como la longitud de onda incidente es menor que la umbral, la energía de cada fotón supera el trabajo de extracción y sí se emiten electrones.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{produzca}}\mathbf{\text{emisi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{electrones}}\mathbf{\text{arrancados.}}\mathbf{\text{(1.00}}\mathbf{\text{punto)}}$

Se aplica la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico: la energía del fotón se reparte entre el trabajo de extracción y la energía cinética del electrón arrancado.

$E_{\text{fot}\acute{\text{o}}\text{n}}=W+E_{c,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}$

$W={\displaystyle \frac{hc}{{\lambda }_{um}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,63}\times {10}^{-34}\cdot \mathrm{3,00}\times {10}^8}{612\times {10}^{-9}}}=\mathrm{3,25}\times {10}^{-19}\mathrm{J}$

$E_{\text{fot}\acute{\text{o}}\text{n}}={\displaystyle \frac{hc}{\lambda }}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,63}\times {10}^{-34}\cdot \mathrm{3,00}\times {10}^8}{500\times {10}^{-9}}}=\mathrm{3,98}\times {10}^{-19}\mathrm{J}$

$E_{c,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}=\mathrm{3,98}\times {10}^{-19}-\mathrm{3,25}\times {10}^{-19}=\mathrm{7,28}\times {10}^{-20}\mathrm{J}$

De la energía cinética se despeja la velocidad, teniendo en cuenta que es la máxima porque corresponde a los electrones que salen de la superficie sin perder energía por el camino:

$E_{c,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}={\displaystyle \frac{1}{2}}{m}_e{v}_{\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}^2\Rightarrow v_{\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2E_{c,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}}{m_e}}}$

$v_{\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{7,28}\times {10}^{-20}}{\mathrm{9,11}\times {10}^{-31}}}}=\sqrt{\mathrm{1,60}\times {10}^{11}}$

$v_{\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}=\mathrm{4,00}\times {10}^5\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$

La velocidad máxima de los electrones arrancados es de $\mathrm{4,00}\times {10}^5\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, muy inferior a la de la luz, lo que justifica el tratamiento no relativista.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Sup}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{ahora}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{extracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{metal}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{hace}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{doble}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{anterior.}}\mathbf{\text{Determina}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nima}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{tener}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{radiaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{incidente}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{siga}}\mathbf{\text{produciendo}}\mathbf{\text{emisi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{fotoel}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrica.}}\mathbf{\text{(1.00}}\mathbf{\text{punto)}}$

La frecuencia mínima, o frecuencia umbral, es aquella para la que el fotón aporta exactamente el trabajo de extracción y el electrón sale con energía cinética nula.

$W^{\mathrm{\prime }}=2W=2\cdot \mathrm{3,25}\times {10}^{-19}=\mathrm{6,50}\times {10}^{-19}\mathrm{J}$

$h{f}_{\text{m}\acute{\text{ı}}\text{n}}=W^{\mathrm{\prime }}\Rightarrow f_{\text{m}\acute{\text{ı}}\text{n}}={\displaystyle \frac{W^{\mathrm{\prime }}}{h}}$

$f_{\text{m}\acute{\text{ı}}\text{n}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,50}\times {10}^{-19}}{\mathrm{6,63}\times {10}^{-34}}}=\mathrm{9,80}\times {10}^{14}\mathrm{H}\mathrm{z}$

Con el trabajo de extracción duplicado, la radiación debe tener una frecuencia de al menos $\mathrm{9,80}\times {10}^{14}$ Hz, que corresponde a una longitud de onda de 306 nm, ya en el ultravioleta: la radiación de 500 nm del apartado anterior ya no arrancaría electrones.