Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2020

B.5 (2 puntos). Se hace incidir un haz de fotones de frecuencia variable sobre una lámina de material metálico, de manera que se emiten electrones cuya energía cinética máxima se mide, obteniendo la gráfica que se adjunta. Determine:

a) El trabajo de extracción del metal en eV.
b) La longitud de onda de de Broglie asociada a los electrones que se emiten, con máxima energía cinética, cuando la frecuencia de los fotones incidentes es de $10\cdot {10}^{14}\mathrm{H}\mathrm{z}$.

Datos: Valor absoluto de la carga del electrón, $e=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\mathrm{C}$; Masa del electrón, $m_e\approx \mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\mathrm{k}\mathrm{g}$; Constante de Planck, $h=\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\mathrm{J}\mathrm{s}$.

$\mathbf{\text{B.5}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos).}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{hace}}\mathbf{\text{incidir}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{haz}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{fotones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{variable}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{mina}}\mathbf{\text{met}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{lica,}}\mathbf{\text{midiendo}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cin}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{electrones}}\mathbf{\text{emitidos}}\mathbf{\text{(gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{adjunta).}}\mathbf{\text{Determine:}}\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{extracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{metal}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{eV;}}\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Broglie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{electrones}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{r}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{pidos}}\mathbf{\text{cuando}}f=10\cdot {10}^{14}\mathrm{H}\mathrm{z}\mathrm{.}$

Este es el problema del efecto fotoeléctrico. Cuando un fotón de energía $E=hf$ incide sobre el metal, parte de esa energía se invierte en arrancar el electrón (es el trabajo de extracción $W$, también llamado función de trabajo) y el resto queda como energía cinética del electrón. Esto lo recoge la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico:

$hf=W+E_{c,\max }$

Despejando la energía cinética máxima:

$E_{c,\max }=hf-W$

Esta es la ecuación de una recta $y=mx+n$ si representamos $E_{c,\max }$ frente a $f$: la pendiente es la constante de Planck $h$ y la ordenada en el origen es $-W$. La gráfica del enunciado es precisamente esa recta, y de ella extraemos los datos que necesitamos.

Interpretación de la gráfica: la recta corta al eje de frecuencias (donde $E_{c,\max }=0$) en la frecuencia umbral $f_0=5\cdot {10}^{14}\mathrm{H}\mathrm{z}$. Por debajo de esa frecuencia el fotón no tiene energía suficiente para arrancar electrones. Además, en $f=10\cdot {10}^{14}\mathrm{H}\mathrm{z}$ la recta da una energía cinética máxima de $2\mathrm{e}\mathrm{V}$.



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{extracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{metal}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{eV}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto).}}$

En la frecuencia umbral la energía cinética de los electrones es nula ($E_{c,\max }=0$), porque toda la energía del fotón se gasta justo en arrancar el electrón sin sobrar nada. Llevando esta condición a la ecuación de Einstein:

$h{f}_0=W+0⟹W=h{f}_0$

Leemos de la gráfica la frecuencia umbral, que es el corte de la recta con el eje horizontal: $f_0=5\cdot {10}^{14}\mathrm{H}\mathrm{z}$.

Sustituyendo los valores:

$W=\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\mathrm{J}\mathrm{s}\cdot 5\cdot {10}^{14}{\mathrm{s}}^{-1}=\mathrm{3,32}\cdot {10}^{-19}\mathrm{J}$

El enunciado pide el resultado en electronvoltios, así que dividimos entre el valor absoluto de la carga del electrón ($1\mathrm{e}\mathrm{V}=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\mathrm{J}$):

$W={\displaystyle \frac{\mathrm{3,32}\cdot {10}^{-19}\mathrm{J}}{\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\mathrm{J}\mathrm{/}\mathrm{e}\mathrm{V}}}=\mathrm{2,07}\mathrm{e}\mathrm{V}$

Por tanto, el trabajo de extracción del metal es:

$\boxed{{\displaystyle W=h{f}_0=\mathrm{3,32}\cdot {10}^{-19}\mathrm{J}\approx \mathrm{2,07}\mathrm{e}\mathrm{V}}}$



Procedemos en dos etapas: primero hallamos la velocidad de los electrones emitidos con máxima energía cinética, y después aplicamos la hipótesis de de Broglie para obtener su longitud de onda asociada.

Primero, la energía cinética máxima a esa frecuencia. La leemos directamente de la gráfica: para $f=10\cdot {10}^{14}\mathrm{H}\mathrm{z}$ se obtiene

$E_{c,\max }=2\mathrm{e}\mathrm{V}$

(Podemos comprobarlo con la ecuación de Einstein: $E_{c,\max }=hf-W=\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\cdot 10\cdot {10}^{14}-\mathrm{3,32}\cdot {10}^{-19}=\mathrm{3,32}\cdot {10}^{-19}\mathrm{J}\approx \mathrm{2,07}\mathrm{e}\mathrm{V}$, coherente con la lectura gráfica.)

Pasamos esa energía al Sistema Internacional para operar en julios:

$E_{c,\max }=2\mathrm{e}\mathrm{V}\cdot \mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\mathrm{J}\mathrm{/}\mathrm{e}\mathrm{V}=\mathrm{3,2}\cdot {10}^{-19}\mathrm{J}$

A las velocidades de este problema el electrón es no relativista, de modo que su energía cinética es $E_{c,\max }={\displaystyle \frac{1}{2}}{m}_e{v}^2$. Despejando la velocidad:

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{2E_{c,\max }}{m_e}}}$

Sustituyendo los valores:

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{3,2}\cdot {10}^{-19}\mathrm{J}}{\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\mathrm{k}\mathrm{g}}}}=\mathrm{8,39}\cdot {10}^5\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}$

Ahora aplicamos la hipótesis de de Broglie: a toda partícula con cantidad de movimiento $p=m_{e}v$ se le asocia una onda de longitud

$\lambda ={\displaystyle \frac{h}{p}}={\displaystyle \frac{h}{m_{e}v}}$

Sustituyendo los valores:

$\lambda ={\displaystyle \frac{\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\mathrm{J}\mathrm{s}}{\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{8,39}\cdot {10}^5\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}}}=\mathrm{8,69}\cdot {10}^{-10}\mathrm{m}$

Por tanto, la longitud de onda de de Broglie de los electrones más rápidos es:

$\boxed{{\displaystyle \lambda ={\displaystyle \frac{h}{m_{e}v}}=\mathrm{8,69}\cdot {10}^{-10}\mathrm{m}\approx \mathrm{0,87}\mathrm{n}\mathrm{m}}}$

Este valor, del orden del ångström, es típico de los electrones a estas energías y resulta comparable a las distancias interatómicas, lo que explica que estos electrones puedan difractarse en redes cristalinas (experimento de Davisson y Germer).