Ejercicio resuelto de Álgebra · Matemáticas II · Galicia · 2026

PREGUNTA 2. ÁLGEBRA. (2 puntos)

Responda uno de estos dos apartados: 2.1. o 2.2.

2.1. Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, se pide responder las siguientes cuestiones:

2.1.1. Calcule las matrices $X = AA^T$ e $Y = A^TA$, siendo $A^T$ la matriz traspuesta de A. ¿Son X o Y invertibles? Razone la respuesta y calcule las inversas en caso de que sea posible.

2.1.2. Calcule las matrices de la forma $M = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ tales que $BM = M$.

2.2. Discuta, según los valores del parámetro $m$, el sistema

$\left\{\begin{array}{rcrcrcl} 2x &+& (2m-2)y &+& (m+6)z &=& 9, \\ x &+& (m-2)y &+& 3z &=& 2, \\ & & 2y &+& (2m+2)z &=& m-5. \end{array}\right.$

Se resuelven los dos apartados, aunque el examen solo pide uno.

$\textbf{2.1.1. Calcule las matrices } X = AA^T \textbf{ e } Y = A^TA\textbf{. ¿Son } X \textbf{ o } Y \textbf{ invertibles?}$

La matriz $A$ es de orden $2\times 3$, luego su traspuesta es de orden $3\times 2$:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix} \qquad A^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

Ya se ve que los dos productos existen pero tienen tamaños distintos: $AA^T$ es $2\times 2$ y $A^TA$ es $3\times 3$.

$X = AA^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$

$Y = A^TA = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante no es nulo.

$|X| = \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} = 8 \ne 0$

Luego $X$ $\textbf{sí es invertible}$. Al ser diagonal, su inversa es la diagonal de los inversos:

$X^{-1} = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1/4 \end{pmatrix}$

Se comprueba de inmediato que $XX^{-1} = I_2$.

$|Y| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$

El determinante es nulo porque la primera y la tercera fila son iguales. Por tanto $Y$ $\textbf{no es invertible}$ y no tiene sentido calcular su inversa. Su rango es 2, no 3.

No es casualidad: el rango de $A$ es 2, y el de un producto no puede superar el de sus factores, así que $Y$, que es $3\times 3$, no puede tener rango 3 y nunca sería invertible, sea cual sea la $A$ de partida.

$\textbf{2.1.2. Calcule las matrices } M = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \textbf{ tales que } BM = M\textbf{.}$

Se plantea el producto y se iguala componente a componente:

$BM = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+c \\ b \\ a+c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$

$\left\{\begin{array}{l} a+c = a \\ b = b \\ a+c = c \end{array}\right.$

De la primera ecuación, $c = 0$; de la tercera, $a = 0$. La segunda no impone ninguna condición, de modo que $b$ queda libre.

$M = \begin{pmatrix} 0 \\ \lambda \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad \lambda \in \mathbb{R}$

Hay infinitas matrices, todas las de esa forma. Comprobación con $\lambda = 1$: el producto de $B$ por $(0,1,0)^T$ devuelve $(0,1,0)^T$.

En el lenguaje de $BM = M$, lo que se ha resuelto es el sistema homogéneo $(B-I)M = 0$: se buscan los vectores que $B$ deja invariantes.

$\textbf{2.2. Discuta, según los valores del parámetro } m\textbf{, el sistema.}$

La matriz de coeficientes y la ampliada son:

$A = \begin{pmatrix} 2 & 2m-2 & m+6 \\ 1 & m-2 & 3 \\ 0 & 2 & 2m+2 \end{pmatrix} \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 2m-2 & m+6 & 9 \\ 1 & m-2 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & 2m+2 & m-5 \end{array}\right)$

Se empieza por el determinante de $A$, desarrollando por la primera columna:

$|A| = 2\begin{vmatrix} m-2 & 3 \\ 2 & 2m+2 \end{vmatrix} - 1\cdot\begin{vmatrix} 2m-2 & m+6 \\ 2 & 2m+2 \end{vmatrix}$

$|A| = 2\big[(m-2)(2m+2)-6\big] - \big[(2m-2)(2m+2)-2(m+6)\big]$

$|A| = 2(2m^2-2m-10) - (4m^2-2m-16) = 4m^2-4m-20-4m^2+2m+16$

$|A| = -2m-4 = -2(m+2)$

El determinante se anula únicamente en $m = -2$.

$\textbf{Caso } m \ne -2$. Entonces $|A| \ne 0$, luego $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 3$, que coincide con el número de incógnitas. Por el teorema de Rouché-Frobenius el sistema es $\textbf{compatible determinado}$: tiene solución única.

$\textbf{Caso } m = -2$. La ampliada queda:

$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -6 & 4 & 9 \\ 1 & -4 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & -2 & -7 \end{array}\right)$

El rango de $A$ es 2, porque su determinante es nulo y el menor formado por las dos primeras filas y las dos primeras columnas no lo es:

$\begin{vmatrix} 2 & -6 \\ 1 & -4 \end{vmatrix} = -8+6 = -2 \ne 0$

Para el rango de la ampliada se orla ese menor con la columna de términos independientes:

$\begin{vmatrix} 2 & -6 & 9 \\ 1 & -4 & 2 \\ 0 & 2 & -7 \end{vmatrix} = 2\big[28-4\big] +6\big[-7-0\big] + 9\big[2-0\big] = 48-42+18 = 24 \ne 0$

Luego $\operatorname{rg}(A) = 2$ y $\operatorname{rg}(A^*) = 3$. Como los rangos no coinciden, el sistema es $\textbf{incompatible}$: no tiene solución.

En resumen:

Valor de $m$	$\operatorname{rg}(A)$	$\operatorname{rg}(A^*)$	Clasificación $m \ne -2$	3	3	Compatible determinado (solución única) $m = -2$	2	3	Incompatible (sin solución)

Obsérvese que no hay ningún valor del parámetro para el que el sistema sea compatible indeterminado.