Ejercicio resuelto de Álgebra · Matemáticas II · Aragón · 2023

Si los vectores $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ son linealmente independientes,

a) Compruebe si los vectores $\{\vec{r}, \vec{s}, \vec{t}\}$ son linealmente dependientes o independientes, siendo

$\vec{r} = 2\vec{u} + \vec{w}, \qquad \vec{s} = \vec{u} + \vec{v} - \vec{w}, \qquad \vec{t} = -3\vec{u} - \vec{v} + \vec{w}$

[1 punto]

b) Si además los vectores $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ son ortogonales y unitarios, calcule razonadamente $\vec{u} \cdot \vec{r} + \vec{v} \cdot \vec{s} + \vec{w} \cdot \vec{t}$, donde $\cdot$ representa el producto escalar de dos vectores. [1 punto]

$\textbf{a) Compruebe si los vectores } \boldsymbol{\{\vec{r}, \vec{s}, \vec{t}\}}\textbf{ son linealmente dependientes o independientes. [1 punto]}$

Como $\{\vec u,\vec v,\vec w\}$ son linealmente independientes y son tres, forman una base del espacio. Cada uno de los vectores nuevos queda entonces determinado por sus coordenadas en esa base, y estudiar la dependencia lineal de los tres se reduce a calcular el rango de la matriz que forman esas coordenadas.

$\vec r=(2,0,1)\ ;\qquad \vec s=(1,1,-1)\ ;\qquad \vec t=(-3,-1,1)\qquad \text{en la base }\{\vec u,\vec v,\vec w\}$

$\begin{vmatrix}2&0&1\\1&1&-1\\-3&-1&1\end{vmatrix}=2\begin{vmatrix}1&-1\\-1&1\end{vmatrix}-0+1\begin{vmatrix}1&1\\-3&-1\end{vmatrix}$

$=2(1-1)+1(-1+3)=0+2=2$

$\begin{vmatrix}2&0&1\\1&1&-1\\-3&-1&1\end{vmatrix}=2\neq0\ \Rightarrow\ \operatorname{ran}\{\vec r,\vec s,\vec t\}=3$

El determinante no se anula, luego los tres vectores $\{\vec r,\vec s,\vec t\}$ son linealmente independientes y forman también una base del espacio.

$\textbf{b) Si además los vectores } \boldsymbol{\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}}\textbf{ son ortogonales y unitarios, calcule razonadamente } \boldsymbol{\vec{u} \cdot \vec{r} + \vec{v} \cdot \vec{s} + \vec{w} \cdot \vec{t}}\textbf{. [1 punto]}$

Que la base sea ortonormal significa que cada vector tiene módulo 1 y que dos distintos son perpendiculares, de modo que sus productos escalares valen

$\vec u\cdot\vec u=\vec v\cdot\vec v=\vec w\cdot\vec w=1\ ;\qquad \vec u\cdot\vec v=\vec u\cdot\vec w=\vec v\cdot\vec w=0$

Basta, pues, desarrollar cada producto escalar por la propiedad distributiva y quedarse con los términos que no se anulan.

$\vec u\cdot\vec r=\vec u\cdot\left(2\vec u+\vec w\right)=2\left(\vec u\cdot\vec u\right)+\vec u\cdot\vec w=2\cdot1+0=2$

$\vec v\cdot\vec s=\vec v\cdot\left(\vec u+\vec v-\vec w\right)=0+1-0=1$

$\vec w\cdot\vec t=\vec w\cdot\left(-3\vec u-\vec v+\vec w\right)=0-0+1=1$

$\vec u\cdot\vec r+\vec v\cdot\vec s+\vec w\cdot\vec t=2+1+1=4$

Obsérvese que el resultado es la suma de los elementos de la diagonal principal de la matriz de coordenadas del apartado anterior: al ser la base ortonormal, el producto escalar de $\vec u$ por un vector devuelve su primera coordenada, y lo mismo con los otros dos.

La suma pedida vale 4.