Ejercicio resuelto de Álgebra · Matemáticas II · 2020

Sean los vectores $\vec{u} = (4,3,\alpha)$, $\vec{v} = (\alpha,1,0)$ y $\vec{w} = (2\alpha,1,\alpha)$, con $\alpha \in \mathbb{R}$.

a) Determine los valores de $\alpha$ para que $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$ sean linealmente independientes. [1 punto]

b) Para el valor $\alpha = 1$ exprese $\vec{w}$ como combinación lineal de $\vec{u}$ y $\vec{v}$. [1 punto]

$\textbf{a) Determine los valores de } \boldsymbol{\alpha}\textbf{ para que } \boldsymbol{\vec{u}}\textbf{, } \boldsymbol{\vec{v}}\textbf{ y } \boldsymbol{\vec{w}}\textbf{ sean linealmente independientes. [1 punto]}$

Tres vectores del espacio son linealmente independientes si y solo si el determinante que forman sus coordenadas no es nulo.

$\begin{vmatrix}4 & 3 & \alpha \\ \alpha & 1 & 0 \\ 2\alpha & 1 & \alpha\end{vmatrix}=4\alpha+0+\alpha^2-2\alpha^2-0-3\alpha^2$

$=4\alpha-4\alpha^2=-4\alpha(\alpha-1)$

$-4\alpha(\alpha-1)=0\Rightarrow \begin{cases}\alpha=0 \\ \alpha=1\end{cases}$

Los tres vectores son linealmente independientes para todo valor real de $\alpha$ distinto de $0$ y de $1$; para esos dos valores son linealmente dependientes.

$\textbf{b) Para el valor } \boldsymbol{\alpha = 1}\textbf{ exprese } \boldsymbol{\vec{w}}\textbf{ como combinación lineal de } \boldsymbol{\vec{u}}\textbf{ y } \boldsymbol{\vec{v}}\textbf{. [1 punto]}$

Por el apartado anterior, para $\alpha=1$ los tres vectores son dependientes, así que la combinación existe. Sustituimos y planteamos la igualdad componente a componente.

$\vec u=(4,3,1)\qquad \vec v=(1,1,0)\qquad \vec w=(2,1,1)$

$\vec w=a\,\vec u+b\,\vec v\Rightarrow (2,1,1)=a(4,3,1)+b(1,1,0)$

$\begin{cases}4a+b=2 \\ 3a+b=1 \\ a=1\end{cases}$

La tercera ecuación da directamente $a=1$, y sustituyendo en la primera:

$4+b=2\Rightarrow b=-2$

Comprobamos con la segunda ecuación, que no se ha usado:

$3\cdot 1+(-2)=1$

La combinación lineal pedida es $\vec w=\vec u-2\vec v$, como se verifica al operar: $(4,3,1)-2(1,1,0)=(2,1,1)$.