Ejercicio resuelto de Álgebra · Matemáticas II · Galicia · 2025

PREGUNTA 2. NÚMEROS Y ÁLGEBRA. (2,5 puntos)

Responda uno de estos dos apartados: 2.1. o 2.2.

2.1. Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & k \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.

2.1.1. ¿Qué condición tiene que cumplir $k$ para que $A$ sea invertible? Calcule $A^{-1}$ cuando sea posible.

2.1.2. Para $k = 0$, calcule la matriz $X$ que satisfaga la igualdad $AX - A = B^2 + A^T$ siendo $A^T$ la traspuesta de A.

2.2. Discuta, según los valores del parámetro $m$, el sistema $\left\{\begin{array}{rcrcrcl} x &+& my &+& z &=& m, \\ x & & &+& (3-m)z &=& 2m, \\ & & my &+& 2z &=& 3m. \end{array}\right.$

El examen permite elegir entre el apartado 2.1 y el 2.2; se resuelven los dos.

$\textbf{2.1.1. ¿Qué condición tiene que cumplir } \boldsymbol{k}\textbf{ para que } \boldsymbol{A}\textbf{ sea invertible? Calcule } \boldsymbol{A^{-1}}\textbf{ cuando sea posible.}$

Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante no es nulo, así que calculamos $|A|$ desarrollando por la primera fila.

$|A|=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & k \end{vmatrix}=1\cdot(4k-1)-2\cdot(2k-1)+0=4k-1-4k+2=1$

El determinante vale 1 sea cual sea $k$, luego $|A|\neq 0$ siempre: la matriz $A$ es invertible para todo valor real de $k$ y no hace falta imponer ninguna condición.

Calculamos la inversa por la fórmula de la adjunta, teniendo en cuenta que $|A|=1$.

$A^{T}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & k \end{pmatrix}$

$A^{-1}=\dfrac{\operatorname{Adj}(A^{T})}{|A|}=\operatorname{Adj}(A^{T})=\begin{pmatrix} 4k-1 & -2k & 2 \\ 1-2k & k & -1 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

Se comprueba, por ejemplo, que la primera fila de $A$ por la primera columna de $A^{-1}$ da $1\cdot(4k-1)+2\cdot(1-2k)+0\cdot(-2)=4k-1+2-4k=1$, como debe ser.

$\textbf{2.1.2. Para } \boldsymbol{k = 0}\textbf{, calcule la matriz } \boldsymbol{X}\textbf{ que satisfaga la igualdad } \boldsymbol{AX - A = B^2 + A^T}\textbf{ siendo } \boldsymbol{A^T}\textbf{ la traspuesta de } \boldsymbol{A}\textbf{.}$

Despejamos $X$ pasando $A$ al segundo miembro y multiplicando por $A^{-1}$ por la izquierda, que es el lado por el que multiplica a la incógnita.

$AX=B^{2}+A^{T}+A \Rightarrow X=A^{-1}\left(B^{2}+A^{T}+A\right)$

Con $k=0$ las matrices que necesitamos son:

$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad A^{-1}=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

La matriz $B$ intercambia las dos primeras filas, de modo que aplicarla dos veces devuelve la matriz de partida:

$B^{2}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=I$

Sumamos los tres términos del segundo miembro:

$B^{2}+A^{T}+A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & 4 & 1 \\ 4 & 9 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 4 & 1 \\ 4 & 9 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

Finalmente, $X=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$.

$\textbf{2.2. Discuta, según los valores del parámetro } \boldsymbol{m}\textbf{, el sistema}$

Llamamos $M$ a la matriz de coeficientes y $M^{*}$ a la ampliada, y aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius.

$M=\begin{pmatrix} 1 & m & 1 \\ 1 & 0 & 3-m \\ 0 & m & 2 \end{pmatrix} \qquad M^{*}=\begin{pmatrix} 1 & m & 1 & m \\ 1 & 0 & 3-m & 2m \\ 0 & m & 2 & 3m \end{pmatrix}$

$|M|=\begin{vmatrix} 1 & m & 1 \\ 1 & 0 & 3-m \\ 0 & m & 2 \end{vmatrix}=0+0+m-0-m(3-m)-2m=m^{2}-4m$

$|M|=0 \Rightarrow m(m-4)=0 \Rightarrow \begin{cases} m=0 \\ m=4 \end{cases}$

Si $m\neq 0$ y $m\neq 4$, entonces $|M|\neq 0 \Rightarrow \operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M^{*})=3=\text{n.º de incógnitas}$ y el sistema es compatible determinado.

Si $m=0$, todos los términos independientes se anulan y el sistema pasa a ser homogéneo:

$M^{*}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}$

Un sistema homogéneo siempre es compatible, porque $\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M^{*})$ al ser nula la columna añadida. La segunda columna de $M$ es nula, luego su rango no llega a 3, y el menor

$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}=3-1=2\neq 0 \Rightarrow \operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M^{*})=2$

$\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M^{*})=2<3=\text{n.º de incógnitas} \Rightarrow \text{sistema compatible indeterminado}$

Si $m=4$, la matriz ampliada es:

$M^{*}=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & -1 & 8 \\ 0 & 4 & 2 & 12 \end{pmatrix}$

Sabemos que $|M|=0$, y el menor

$\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}=0-4=-4\neq 0 \Rightarrow \operatorname{ran}(M)=2$

Orlamos con la columna de términos independientes:

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & 4 \\ 1 & 0 & 8 \\ 0 & 4 & 12 \end{vmatrix}=0+0+16-0-32-48=-64\neq 0 \Rightarrow \operatorname{ran}(M^{*})=3$

$\operatorname{ran}(M)=2\neq 3=\operatorname{ran}(M^{*}) \Rightarrow \text{sistema incompatible}$

En resumen: el sistema es compatible determinado para todo $m$ distinto de 0 y de 4, compatible indeterminado con un parámetro para $m=0$, e incompatible para $m=4$.