Ejercicio resuelto de Álgebra · Matemáticas II · Aragón · 2023

Si los vectores $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ son linealmente independientes,

a) Compruebe si los vectores $\{\vec{r}, \vec{s}, \vec{t}\}$ son linealmente dependientes o independientes, siendo

$\vec{r} = \vec{u} - \vec{v} - 2\vec{w}, \qquad \vec{s} = \vec{u} + 3\vec{w}, \qquad \vec{t} = 2\vec{u} - \vec{v} + \vec{w}$

[1,2 puntos]

b) Calcule razonadamente $3\vec{s} \times (\vec{t} - \vec{r})$, donde $\times$ representa el producto vectorial de dos vectores. [0,8 puntos]

$\textbf{a) Compruebe si los vectores } \boldsymbol{\{\vec{r}, \vec{s}, \vec{t}\}}\textbf{ son linealmente dependientes o independientes. [1,2 puntos]}$

Como $\{\vec u,\vec v,\vec w\}$ son tres vectores linealmente independientes, forman una base y cada vector nuevo queda determinado por sus coordenadas en ella. Estudiar la dependencia lineal de los tres se reduce entonces a calcular el rango de la matriz de esas coordenadas.

$\vec r=(1,-1,-2)\ ;\qquad \vec s=(1,0,3)\ ;\qquad \vec t=(2,-1,1)\qquad \text{en la base }\{\vec u,\vec v,\vec w\}$

$\begin{vmatrix}1&-1&-2\\1&0&3\\2&-1&1\end{vmatrix}=0-6+2-0+3+1=0$

El determinante se anula, luego los tres vectores son linealmente dependientes. La relación que los liga se ve sin más que sumar los dos primeros:

$\vec r+\vec s=(1,-1,-2)+(1,0,3)=(2,-1,1)=\vec t$











$\vec t=\vec r+\vec s\ \Rightarrow\ \vec r+\vec s-\vec t=\vec 0$

Hay, pues, una combinación lineal de los tres vectores con coeficientes no todos nulos que da el vector nulo. El menor $\begin{vmatrix}1&-1\\1&0\end{vmatrix}=1\neq0$ indica además que el rango del conjunto es 2: los tres son coplanarios.





Los vectores $\{\vec r,\vec s,\vec t\}$ son, por tanto, linealmente dependientes.

$\textbf{b) Calcule razonadamente } \boldsymbol{3\vec{s} \times (\vec{t} - \vec{r})}\textbf{, donde } \boldsymbol{\times}\textbf{ representa el producto vectorial de dos vectores. [0,8 puntos]}$

Antes de operar con coordenadas conviene mirar el paréntesis, porque la relación obtenida en el apartado anterior lo simplifica del todo.

$\vec t=\vec r+\vec s\ \Rightarrow\ \vec t-\vec r=\vec s$

$3\vec s\times\left(\vec t-\vec r\right)=3\vec s\times\vec s$

El producto vectorial de un vector por sí mismo es el vector nulo, porque los dos factores son paralelos y el paralelogramo que determinan es degenerado; dicho de otro modo, el seno del ángulo que forman es nulo.

$3\vec s\times\vec s=3\left(\vec s\times\vec s\right)=3\cdot\vec 0=\vec 0$

El resultado es el vector nulo, $\vec 0=(0,0,0)$.