Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2025

Sabiendo que la longitud de onda umbral del oro es 227 nm, determina:

a) La energía cinética de los electrones emitidos de una plancha de este metal si se ilumina su superficie con una radiación incidente de 180 nm. [1 punto]

b) El potencial de frenado de dichos electrones. [1 punto]

c) Calcula la longitud de onda de De Broglie de los electrones emitidos. [0,5 puntos]

Datos: constante de Planck $h=\mathrm{6,626}\cdot {10}^{-34}\text{ J}\cdot \text{s}$; valor de la carga del electrón: $e=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{ C}$; velocidad de la luz en el vacío: $c=3\cdot {10}^8$ m/s; masa del electrón: $m=\mathrm{9,11}\cdot {10}^{-34}\text{ kg}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cin}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{electrones}}\mathbf{\text{emitidos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{plancha}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{metal}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ilumina}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{radiaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{incidente}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{180}}\mathbf{\text{nm.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La longitud de onda umbral es la mayor con la que todavía se arrancan electrones, así que da directamente el trabajo de extracción del oro:

$W_0=h{\displaystyle \frac{c}{{\lambda }_0}}=\mathrm{6,626}\cdot {10}^{-34}\cdot {\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{227\cdot {10}^{-9}}}$

$W_0=\mathrm{8,76}\cdot {10}^{-19}\text{ J}=\mathrm{5,47}\text{ eV}$

La energía de los fotones que se emplean vale:

$E=h{\displaystyle \frac{c}{\lambda }}=\mathrm{6,626}\cdot {10}^{-34}\cdot {\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{180\cdot {10}^{-9}}}$

$E=\mathrm{1,10}\cdot {10}^{-18}\text{ J}=\mathrm{6,90}\text{ eV}$

Al ser mayor que el trabajo de extracción hay emisión, y por la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico el exceso queda como energía cinética:

$E_{c,\max }=E-W_0=\mathrm{1,10}\cdot {10}^{-18}-\mathrm{8,76}\cdot {10}^{-19}$

$E_{c,\max }=\mathrm{2,29}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$

Los electrones más rápidos salen con $\mathrm{2,29}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$, es decir, $\mathrm{1,43}\text{ eV}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{frenado}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dichos}}\mathbf{\text{electrones.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El potencial de frenado es el que hay que aplicar para detener a los electrones más energéticos: el trabajo eléctrico que realiza sobre ellos iguala a su energía cinética máxima.

$\mathrm{\mid }e\mathrm{\mid }{V}_f=E_{c,\max }\Rightarrow V_f={\displaystyle \frac{E_{c,\max }}{\mathrm{\mid }e\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,29}\cdot {10}^{-19}}{\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}}}$

$V_f=\mathrm{1,43}\text{ V}$

Con un potencial de frenado de $\mathrm{1,43}\text{ V}$ la corriente fotoeléctrica se anula por completo.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{De}}\mathbf{\text{Broglie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{electrones}}\mathbf{\text{emitidos.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Conviene advertir que el dato de masa del electrón que aparece en el enunciado, $\mathrm{9,11}\cdot {10}^{-34}\text{ kg}$, es una errata del original: la masa del electrón es $\mathrm{9,11}\cdot {10}^{-31}\text{ kg}$, mil veces mayor. Se resuelve con el valor correcto, que es el único con sentido físico.

Se calcula primero la velocidad de los electrones a partir de su energía cinética:

$E_{c,\max }={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2\Rightarrow v=\sqrt{{\displaystyle \frac{2E_{c,\max }}{m}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{2,29}\cdot {10}^{-19}}{\mathrm{9,11}\cdot {10}^{-31}}}}$

$v=\mathrm{7,09}\cdot {10}^5\text{ m/s}$

La hipótesis de De Broglie asocia a toda partícula en movimiento una onda cuya longitud es:

$\lambda ={\displaystyle \frac{h}{p}}={\displaystyle \frac{h}{mv}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,626}\cdot {10}^{-34}}{\mathrm{9,11}\cdot {10}^{-31}\cdot \mathrm{7,09}\cdot {10}^5}}$

$\lambda =\mathrm{1,03}\cdot {10}^{-9}\text{ m}$

La longitud de onda de De Broglie de los electrones emitidos es de $\mathrm{1,03}\text{ nm}$, del orden del nanómetro: mucho menor que la de la luz que los arrancó, y comparable al tamaño de unos pocos átomos, que es lo que hace posible la microscopía electrónica.