Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

Una piscifactoría realiza un estudio de mercado para determinados tipos de pescado (salmones y truchas). Los salmones suponen el 70 % de la producción y las truchas el 30 % de la producción. El 40 % de los salmones se vende en España, el 35 % en Portugal y el resto en otros países. En cuanto a las truchas, el 30 % se vende en España, el 10 % en Portugal y el resto en otros países. Se pide, razonando la respuesta:

a) Calcule la probabilidad de que un pescado sea vendido en países distintos de España y Portugal. [1 punto]

b) Calcule la probabilidad de que un pescado que sabemos que se ha vendido en Portugal, sea trucha. [1 punto]

Nombramos los sucesos:

$S\equiv$ el pescado es un salmón,
$T\equiv$ el pescado es una trucha,
$E\equiv$ se vende en España,
$P\equiv$ se vende en Portugal,
$O\equiv$ se vende en otros países.

Los dos tipos de pescado forman un sistema completo de sucesos. El resto de las ventas son las de otros países: $100-40-35=25$ % en los salmones y $100-30-10=60$ % en las truchas.



$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que un pescado sea vendido en países distintos de España y Portugal. [1 punto]}$

Al formar los dos tipos de pescado un sistema completo de sucesos, se aplica el teorema de la probabilidad total: se suman las dos ramas del árbol que acaban en «otros países».

$P(O)=P(S)\cdot P(O/S)+P(T)\cdot P(O/T)$

$P(O)=0{,}7\cdot 0{,}25+0{,}3\cdot 0{,}6=0{,}175+0{,}18=0{,}355$

La probabilidad de que un pescado se venda en países distintos de España y Portugal es $0{,}355$.

$\textbf{b) Calcule la probabilidad de que un pescado que sabemos que se ha vendido en Portugal, sea trucha. [1 punto]}$

Es una probabilidad a posteriori, porque se conoce el destino de la venta y se pregunta por el tipo de pescado. Se aplica el teorema de Bayes, y para ello hace falta primero la probabilidad total de vender en Portugal.

$P(P)=P(S)\cdot P(P/S)+P(T)\cdot P(P/T)=0{,}7\cdot 0{,}35+0{,}3\cdot 0{,}1$

$P(P)=0{,}245+0{,}03=0{,}275$

$P(T/P)=\dfrac{P(T)\cdot P(P/T)}{P(P)}=\dfrac{0{,}3\cdot 0{,}1}{0{,}275}=\dfrac{0{,}03}{0{,}275}$

$P(T/P)=\dfrac{6}{55}\approx 0{,}1091$

Si un pescado se ha vendido en Portugal, la probabilidad de que sea trucha es $\dfrac{6}{55}\approx 0{,}1091$.