Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Galicia · 2024

PREGUNTA 6. Problema de interacción electromagnética. (2 puntos)
Una carga eléctrica puntual de valor Q ocupa la posición (0,0) del plano XY en el vacío. En un punto A del eje X el potencial eléctrico es V = −120 V y el campo eléctrico es $\vec{E}=-80\widehat{\mathrm{ı}}$ N /C. Si las coordenadas están dadas en metros, calcule:

a) la posición del punto A y el valor de Q;
b) el trabajo que realiza la fuerza eléctrica del campo para llevar un electrón desde el punto B (2,2) hasta el punto A.

DATOS: $K=9\times {10}^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2\cdot {\mathrm{C}}^{-2}$; $\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }=\mathrm{1,6}\times {10}^{-19}$ C.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Q;}}$










El potencial y el campo creados por una carga puntual a una distancia $r$ son:

$V=K{\displaystyle \frac{Q}{r}}E=K{\displaystyle \frac{Q}{r^2}}$

El punto $A$ está en el eje $X$, así que el vector unitario que va de la carga a $A$ es $\widehat{\mathrm{ı}}$ y la componente del campo en $A$ es:

$E_x=K{\displaystyle \frac{Q}{r^2}}=-80\text{ N/C}$

Que el campo apunte hacia la carga indica ya que $Q$ es negativa.





Dividiendo el potencial entre la componente del campo desaparece la carga y queda la distancia:

${\displaystyle \frac{V}{E_x}}={\displaystyle \frac{KQ\mathrm{/}r}{KQ\mathrm{/}{r}^2}}=r$

$r={\displaystyle \frac{-120}{-80}}=\mathrm{1,5}\text{ m}$

Como $A$ está en el eje $X$ y el campo apunta en el sentido negativo de ese eje, el punto está en el semieje positivo:

$A(\mathrm{1,5},0)$

Sustituyendo ahora en la expresión del potencial:

$Q={\displaystyle \frac{Vr}{K}}={\displaystyle \frac{-120\cdot \mathrm{1,5}}{9\cdot {10}^9}}$

$Q=-\mathrm{2,0}\cdot {10}^{-8}\text{ C}=-20\text{ nC}$

El punto $A$ es el $(\mathrm{1,5},0)$ y la carga vale $-20\text{ nC}$, negativa, como anticipaba el sentido del campo.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{realiza}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrica}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{llevar}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{B}}\mathbf{\text{(2,2)}}\mathbf{\text{hasta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{A.}}$

El trabajo que realiza la fuerza del campo entre dos puntos es:

$W=q(V_B-V_A)$

Calculamos la distancia de la carga al punto $B(2,2)$:

$r_B=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}=\mathrm{2,83}\text{ m}$

Y el potencial en $B$:

$V_B=K{\displaystyle \frac{Q}{r_B}}=9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{-\mathrm{2,0}\cdot {10}^{-8}}{\mathrm{2,83}}}=-\mathrm{63,6}\text{ V}$

La carga que se desplaza es un electrón, de carga negativa:

$q=-\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{ C}$

$W=-\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}(-\mathrm{63,6}-(-120))$

$W=-\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\cdot \mathrm{56,4}$

$W=-\mathrm{9,02}\cdot {10}^{-18}\text{ J}$

El trabajo que realiza la fuerza eléctrica del campo es $-\mathrm{9,02}\cdot {10}^{-18}\text{ J}$. Al ser negativo, el desplazamiento no es espontáneo: hay que empujar el electrón desde $B$ hasta $A$, lo que era previsible porque una carga negativa se mueve espontáneamente hacia potenciales mayores y en $A$ el potencial es menor que en $B$.