Ejercicio resuelto de Geometría · Matemáticas II · 2025

Dados los puntos $A = (1,2,3)$, $B = (2,3,4)$, $C = (3,4,3)$

a) ¿Están $A$, $B$ y $C$ alineados? [0,75 puntos]

b) Halle un vector que sea ortogonal a $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$, y de módulo $\sqrt{2}$. [1 punto]

c) Halle el punto simétrico del punto $A$ respecto del punto $B$. [0,75 puntos]

$\textbf{a) ¿Están } \boldsymbol{A}\textbf{, } \boldsymbol{B}\textbf{ y } \boldsymbol{C}\textbf{ alineados? [0,75 puntos]}$

Tres puntos están alineados cuando los vectores que los unen son proporcionales, es decir, cuando tienen la misma dirección.

$\overrightarrow{AB}=(1,1,1) \qquad \overrightarrow{AC}=(2,2,0)$

$\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\neq\dfrac{1}{0}$

Las coordenadas no son proporcionales —la tercera lo impide—, así que los vectores son linealmente independientes.

Los tres puntos no están alineados: determinan un triángulo y, con él, un plano.

$\textbf{b) Halle un vector que sea ortogonal a } \boldsymbol{\overrightarrow{AB}}\textbf{ y } \boldsymbol{\overrightarrow{AC}}\textbf{, y de módulo } \boldsymbol{\sqrt{2}}\textbf{. [1 punto]}$

Un vector ortogonal a los dos es su producto vectorial; después basta ajustar el módulo.

$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&1&1\\2&2&0\end{vmatrix}=(0-2)\vec i-(0-2)\vec j+(2-2)\vec k=(-2,2,0)$

$|(-2,2,0)|=\sqrt{4+4+0}=2\sqrt{2}$

$\vec w=\pm\,\sqrt{2}\cdot\dfrac{(-2,2,0)}{2\sqrt{2}}=\pm\dfrac{1}{2}(-2,2,0)=\pm(-1,1,0)$

Se comprueba el módulo: $|(-1,1,0)|=\sqrt{2}$, y también la ortogonalidad: $(-1,1,0)\cdot(1,1,1)=0$ y $(-1,1,0)\cdot(2,2,0)=0$.

Los vectores pedidos son $(-1,1,0)$ y su opuesto $(1,-1,0)$.

$\textbf{c) Halle el punto simétrico del punto } \boldsymbol{A}\textbf{ respecto del punto } \boldsymbol{B}\textbf{. [0,75 puntos]}$

El simétrico respecto de un punto es aquel para el cual ese punto es el punto medio del segmento.

$B=\dfrac{A+A'}{2} \Rightarrow A'=2B-A$

$A'=(2\cdot 2-1,\;2\cdot 3-2,\;2\cdot 4-3)=(3,4,5)$

Se comprueba que el punto medio de $A(1,2,3)$ y $A'(3,4,5)$ es $(2,3,4)=B$.

El simétrico de $A$ respecto de $B$ es el punto $A'(3,4,5)$.