Ejercicio resuelto de Geometría · Matemáticas II · 2023

Halle un vector de módulo 5 que sea ortogonal a los vectores $\vec{u} = (1,2,0)$ y $\vec{v} = (-1,0,1)$. [2 puntos]

El producto vectorial de dos vectores es ortogonal a los dos, así que lo calculamos y después lo ajustamos al módulo que se pide dividiéndolo entre el suyo y multiplicando por $5$.

$\vec u\times\vec v=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{vmatrix}=(2-0)\vec i-(1-0)\vec j+(0+2)\vec k=(2,-1,2)$

$\left|\vec u\times\vec v\right|=\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{9}=3$

$\vec w=5\cdot\dfrac{(2,-1,2)}{3}=\left(\dfrac{10}{3},-\dfrac{5}{3},\dfrac{10}{3}\right)$

Comprobamos que cumple las dos condiciones:

$\left|\vec w\right|=\sqrt{\dfrac{100}{9}+\dfrac{25}{9}+\dfrac{100}{9}}=\sqrt{\dfrac{225}{9}}=\dfrac{15}{3}=5$

$\vec w\cdot\vec u=\dfrac{10}{3}-\dfrac{10}{3}+0=0\qquad \vec w\cdot\vec v=-\dfrac{10}{3}+0+\dfrac{10}{3}=0$

Un vector de módulo $5$ ortogonal a los dos dados es $\left(\frac{10}{3},-\frac{5}{3},\frac{10}{3}\right)$; su opuesto, $\left(-\frac{10}{3},\frac{5}{3},-\frac{10}{3}\right)$, también sirve.