Ejercicio resuelto de Geometría · Matemáticas II · 2021

Calcule un vector de módulo 3 que sea perpendicular a los vectores $\vec{u} = (1,1,-1)$ y $\vec{v} = (2,1,0)$. [2 puntos]

El producto vectorial de dos vectores es perpendicular a los dos, así que lo calculamos y después lo ajustamos al módulo pedido dividiéndolo entre el suyo y multiplicando por $3$.

$\vec u\times\vec v=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 0\end{vmatrix}=(0+1)\vec i-(0+2)\vec j+(1-2)\vec k=(1,-2,-1)$

$\left|\vec u\times\vec v\right|=\sqrt{1+4+1}=\sqrt6$

$\vec w=3\cdot\dfrac{(1,-2,-1)}{\sqrt6}=\left(\dfrac{3}{\sqrt6},-\dfrac{6}{\sqrt6},-\dfrac{3}{\sqrt6}\right)=\left(\dfrac{\sqrt6}{2},-\sqrt6,-\dfrac{\sqrt6}{2}\right)$

Comprobamos que cumple las dos condiciones:

$\left|\vec w\right|=\sqrt{\dfrac64+6+\dfrac64}=\sqrt{9}=3$

$\vec w\cdot\vec u=\dfrac{\sqrt6}{2}-\sqrt6+\dfrac{\sqrt6}{2}=0\qquad \vec w\cdot\vec v=\sqrt6-\sqrt6+0=0$

Un vector de módulo $3$ perpendicular a los dos dados es $\left(\frac{\sqrt6}{2},-\sqrt6,-\frac{\sqrt6}{2}\right)$; su opuesto también sirve.