Ejercicio resuelto de Geometría · Matemáticas II · 2024

Dados los puntos $A(1,2,1)$, $B(0,3,1)$ y $C(1,0,-1)$, determine:

a) Un vector unitario y ortogonal a los vectores $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$. [1 punto]

b) El ángulo determinado por dichos vectores. [0,5 puntos]

c) El área del triángulo que forman $A$, $B$ y $C$. [0,5 puntos]

Los tres apartados se resuelven a partir de los vectores que parten del vértice $A$ y de su producto vectorial:

$\overrightarrow{AB}=(0,3,1)-(1,2,1)=(-1,1,0)$

$\overrightarrow{AC}=(1,0,-1)-(1,2,1)=(0,-2,-2)$



$\textbf{a) Un vector unitario y ortogonal a los vectores } \boldsymbol{\overrightarrow{AB}}\textbf{ y } \boldsymbol{\overrightarrow{AC}}\textbf{. [1 punto]}$

El producto vectorial de dos vectores es ortogonal a ambos, así que basta calcularlo y dividirlo entre su módulo para que resulte unitario.

$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ -1 & 1 & 0\\ 0 & -2 & -2\end{vmatrix}=(-2-0)\vec i-(2-0)\vec j+(2-0)\vec k=(-2,-2,2)$

$\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{(-2)^2+(-2)^2+2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

$\vec u=\dfrac{(-2,-2,2)}{2\sqrt{3}}=\left(-\dfrac{1}{\sqrt3},-\dfrac{1}{\sqrt3},\dfrac{1}{\sqrt3}\right)=\left(-\dfrac{\sqrt3}{3},-\dfrac{\sqrt3}{3},\dfrac{\sqrt3}{3}\right)$

Un vector unitario y ortogonal a los dos dados es $\vec u=\left(-\frac{\sqrt3}{3},-\frac{\sqrt3}{3},\frac{\sqrt3}{3}\right)$; su opuesto también lo es.

$\textbf{b) El ángulo determinado por dichos vectores. [0,5 puntos]}$

El ángulo se obtiene del producto escalar, ya que $\vec x\cdot\vec y=|\vec x||\vec y|\cos\alpha$.

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=(-1)\cdot 0+1\cdot(-2)+0\cdot(-2)=-2$

$\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{1+1+0}=\sqrt2,\qquad \left|\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{0+4+4}=\sqrt8=2\sqrt2$

$\cos\alpha=\dfrac{-2}{\sqrt2\cdot 2\sqrt2}=\dfrac{-2}{4}=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow \alpha=120^{\circ}$

El ángulo que forman $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$ es de $120^{\circ}$.

$\textbf{c) El área del triángulo que forman } \boldsymbol{A}\textbf{, } \boldsymbol{B}\textbf{ y } \boldsymbol{C}\textbf{. [0,5 puntos]}$

El módulo del producto vectorial es el área del paralelogramo construido sobre los dos vectores, y el triángulo es su mitad.

$S=\dfrac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|=\dfrac{2\sqrt3}{2}=\sqrt3\ \text{u}^2$

El área del triángulo de vértices $A$, $B$ y $C$ es de $\sqrt3\approx 1{,}7321$ unidades de área.