Ejercicio resuelto de Geometría · Matemáticas II · 2024

a) Dados los vectores $\vec{u} = (2,1,0)$, $\vec{v} = (5,0,1)$ y $\vec{w} = (a,b,1)$, calcule $a$ y $b$ para que $\vec{u}$ y $\vec{w}$ sean perpendiculares y además los tres vectores $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$ sean linealmente dependientes. [1 punto]

b) Calcule el volumen del paralelepípedo que forman $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{z} = (1,2,1)$. [1 punto]

$\textbf{a) Dados los vectores } \boldsymbol{\vec{u} = (2,1,0)}\textbf{, } \boldsymbol{\vec{v} = (5,0,1)}\textbf{ y } \boldsymbol{\vec{w} = (a,b,1)}\textbf{, calcule } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{ para que } \boldsymbol{\vec{u}}\textbf{ y } \boldsymbol{\vec{w}}\textbf{ sean perpendiculares y además los tres vectores } \boldsymbol{\vec{u}}\textbf{, } \boldsymbol{\vec{v}}\textbf{ y } \boldsymbol{\vec{w}}\textbf{ sean linealmente dependientes. [1 punto]}$

Cada condición da una ecuación: dos vectores son perpendiculares cuando su producto escalar se anula, y tres vectores del espacio son linealmente dependientes cuando el determinante que forman es nulo.

$\vec u\perp\vec w\Rightarrow \vec u\cdot\vec w=2a+b+0=0$

$\begin{vmatrix}2 & 1 & 0 \\ 5 & 0 & 1 \\ a & b & 1\end{vmatrix}=0+a+0-0-2b-5=a-2b-5=0$

Resolvemos el sistema formado por las dos condiciones. De la primera, $b=-2a$, y sustituyendo en la segunda:

$a-2(-2a)-5=0\Rightarrow 5a=5\Rightarrow a=1$

$b=-2\cdot 1=-2$

Los valores pedidos son $a=1$ y $b=-2$, con lo que $\vec w=(1,-2,1)$.

$\textbf{b) Calcule el volumen del paralelepípedo que forman } \boldsymbol{\vec{u}}\textbf{, } \boldsymbol{\vec{v}}\textbf{ y } \boldsymbol{\vec{z} = (1,2,1)}\textbf{. [1 punto]}$

El volumen del paralelepípedo construido sobre tres vectores es el valor absoluto de su producto mixto.



$\left[\vec u,\vec v,\vec z\right]=\begin{vmatrix}2 & 1 & 0 \\ 5 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1\end{vmatrix}=0+1+0-0-4-5=-8$

$V=\left|\left[\vec u,\vec v,\vec z\right]\right|=|-8|=8\ \text{u}^3$

El volumen del paralelepípedo es de $8$ unidades cúbicas.