Ejercicio resuelto de Geometría · Matemáticas II · 2023

Sean los vectores $\vec{u} = (0,0,2)$, $\vec{v} = (1,1,0)$ y $\vec{w} = (2,-1,1)$.

a) ¿Son $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$ linealmente independientes? [0,5 puntos]

b) Calcule el área del triángulo formado por los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$. [0,75 puntos]

c) Calcule un vector de módulo uno perpendicular a los vectores $\vec{v}$ y $\vec{w}$. [0,75 puntos]

$\textbf{a) ¿Son } \boldsymbol{\vec{u}}\textbf{, } \boldsymbol{\vec{v}}\textbf{ y } \boldsymbol{\vec{w}}\textbf{ linealmente independientes? [0,5 puntos]}$

Tres vectores del espacio son linealmente independientes si y solo si el determinante que forman sus coordenadas no es nulo.

$\begin{vmatrix}0 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 1\end{vmatrix}=2\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 2 & -1\end{vmatrix}=2(-1-2)=-6\neq 0$

Los tres vectores son linealmente independientes y, por tanto, forman una base de $\mathbb{R}^3$.

$\textbf{b) Calcule el área del triángulo formado por los vectores } \boldsymbol{\vec{u}}\textbf{ y } \boldsymbol{\vec{v}}\textbf{. [0,75 puntos]}$

El módulo del producto vectorial es el área del paralelogramo que determinan los dos vectores, y el triángulo es su mitad.

$\vec u\times\vec v=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 0 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0\end{vmatrix}=(0-2)\vec i-(0-2)\vec j+(0-0)\vec k=(-2,2,0)$

$\left|\vec u\times\vec v\right|=\sqrt{4+4+0}=\sqrt8=2\sqrt2$

$S=\dfrac{1}{2}\left|\vec u\times\vec v\right|=\dfrac{2\sqrt2}{2}=\sqrt2\ \text{u}^2$

El área del triángulo es de $\sqrt2\approx 1{,}4142$ unidades de área.

$\textbf{c) Calcule un vector de módulo uno perpendicular a los vectores } \boldsymbol{\vec{v}}\textbf{ y } \boldsymbol{\vec{w}}\textbf{. [0,75 puntos]}$

El producto vectorial de los dos es perpendicular a ambos; para que resulte unitario lo dividimos entre su módulo.

$\vec v\times\vec w=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 1\end{vmatrix}=(1-0)\vec i-(1-0)\vec j+(-1-2)\vec k=(1,-1,-3)$

$\left|\vec v\times\vec w\right|=\sqrt{1+1+9}=\sqrt{11}$

$\vec n=\dfrac{(1,-1,-3)}{\sqrt{11}}=\left(\dfrac{\sqrt{11}}{11},-\dfrac{\sqrt{11}}{11},-\dfrac{3\sqrt{11}}{11}\right)$

Un vector unitario perpendicular a $\vec v$ y a $\vec w$ es el anterior; su opuesto también cumple las dos condiciones.