Ejercicio resuelto de Geometría · Matemáticas II · 2026

a) Dados los vectores $\vec{u} = (0,3,-4)$ y $\vec{v} = (12,4,3)$, compruebe que el paralelogramo que forman es un rectángulo y calcule su área. [0,75 puntos]

b) Halle la ecuación del plano formado por los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ y el punto $(1,0,0)$. [0,75 puntos]

c) Obtenga un vector perpendicular a los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ de módulo 13. [1 punto]

$\textbf{a) Dados los vectores } \boldsymbol{\vec{u} = (0,3,-4)}\textbf{ y } \boldsymbol{\vec{v} = (12,4,3)}\textbf{, compruebe que el paralelogramo que forman es un rectángulo y calcule su área. [0,75 puntos]}$

Un paralelogramo es un rectángulo cuando sus lados contiguos son perpendiculares, y dos vectores son perpendiculares cuando su producto escalar es nulo.

$\vec u\cdot\vec v=0\cdot 12+3\cdot 4+(-4)\cdot 3=12-12=0$

Los dos vectores son perpendiculares, luego el paralelogramo que determinan es un rectángulo. Su área es el producto de los módulos de los lados, que en este caso coincide con el módulo del producto vectorial.

$|\vec u|=\sqrt{0+9+16}=5 \qquad |\vec v|=\sqrt{144+16+9}=13$

$\text{Área}=|\vec u|\cdot|\vec v|=5\cdot 13=65$

El área del rectángulo es de 65 unidades de superficie.

$\textbf{b) Halle la ecuación del plano formado por los vectores } \boldsymbol{\vec{u}}\textbf{ y } \boldsymbol{\vec{v}}\textbf{ y el punto } \boldsymbol{(1,0,0)}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Los dos vectores son los directores del plano, así que su producto vectorial es el vector normal.

$\vec u\times\vec v=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\0&3&-4\\12&4&3\end{vmatrix} =(9+16)\vec i-(0+48)\vec j+(0-36)\vec k=(25,-48,-36)$

Con la normal y el punto $P(1,0,0)$:

$25(x-1)-48(y-0)-36(z-0)=0$

$25x-48y-36z-25=0$

$\textbf{c) Obtenga un vector perpendicular a los vectores } \boldsymbol{\vec{u}}\textbf{ y } \boldsymbol{\vec{v}}\textbf{ de módulo 13. [1 punto]}$

Cualquier vector perpendicular a los dos es proporcional a $\vec u\times\vec v$. Basta normalizarlo y multiplicarlo por 13.

$|\vec u\times\vec v|=\sqrt{625+2304+1296}=\sqrt{4225}=65$

$\vec w=\pm\,13\cdot\dfrac{\vec u\times\vec v}{|\vec u\times\vec v|}=\pm\dfrac{13}{65}(25,-48,-36)=\pm\dfrac{1}{5}(25,-48,-36)$

$\vec w=\pm\left(5,-\dfrac{48}{5},-\dfrac{36}{5}\right)$

Se comprueba el módulo: $|\vec w|=\dfrac{1}{5}\cdot 65=13$. Hay dos soluciones, una opuesta a la otra.