Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Cataluña · 2025

$\mathbf{\text{Opci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{A}}$

En una exposición de arte hay una obra que consiste en una moneda situada en el interior de un bloque macizo de policarbonato transparente, justo en el centro de la cara posterior, tal como indica la figura. El bloque tiene forma de ortoedro (de caja de zapatos) y un índice de refracción de 1,58. Una persona está observando la obra desde el punto medio de la cara opuesta y llega una segunda persona y se sitúa a la derecha de la primera. Sorprendentemente, no ve la moneda del interior del bloque.



a) A partir de la ley de Snell, deduzca la expresión del ángulo límite (o ángulo crítico) en función de los índices de refracción de los dos medios. Calcule el ángulo límite con los datos del problema. Justifique si se podría dar este fenómeno en el caso de que se invirtiesen los medios. [1,25 puntos]

b) ¿A qué distancia máxima, $d$, tendría que colocarse la segunda persona respecto de la primera para ver la moneda? Considere un rayo de luz que sale de la moneda y llega a la interfaz de policarbonato-aire con este ángulo límite y dibuje un esquema de los rayos incidente, reflejado y refractado para este caso. [1,25 puntos]

Dato: índice de refracción del aire $=1$.

$\mathbf{\text{Opci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{A.}}\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ley}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Snell,}}\mathbf{\text{deduzca}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{expresi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{mite}}\mathbf{\text{(o}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{cr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{tico)}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ndices}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{refracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{medios.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{mite}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{datos}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{problema.}}\mathbf{\text{Justifique}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{podr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{dar}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{fen}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{meno}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{invirtiesen}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{medios.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La ley de Snell relaciona los ángulos que forman con la normal el rayo incidente y el refractado:

$n_1\mathrm{sen}\widehat{\mathrm{ı}}=n_2\mathrm{sen}\widehat{r}$

Al pasar del policarbonato al aire, $n_1>n_2$, y entonces $\widehat{r}>\widehat{\mathrm{ı}}$: el rayo se separa de la normal. El ángulo límite es el ángulo de incidencia para el que el refractado sale rasante a la superficie, es decir, $\widehat{r}={90}^{\circ }$.

$n_1\mathrm{sen}{\theta }_L=n_2\mathrm{sen}{90}^{\circ }=n_2$

$\mathrm{sen}{\theta }_L={\displaystyle \frac{n_2}{n_1}}$

$\mathrm{sen}{\theta }_L={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,58}}}=\mathrm{0,6329}\Rightarrow {\theta }_L={\mathrm{39,3}}^{\circ }$

Si se invirtieran los medios, la luz iría del aire al policarbonato y sería $n_1<n_2$, con lo que el cociente $n_2\mathrm{/}{n}_1$ sería mayor que uno y no existiría ningún ángulo cuyo seno valiese eso. El fenómeno no podría darse: la reflexión total interna solo ocurre pasando de un medio más refringente a otro menos refringente.

El ángulo límite del policarbonato con el aire es de ${\mathrm{39,3}}^{\circ }$, y con los medios invertidos no habría reflexión total.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿A}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima,}}\mathit{d}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{tendr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{colocarse}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{segunda}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{primera}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{ver}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{moneda?}}\mathbf{\text{Considere}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{luz}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sale}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{moneda}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{llega}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{interfaz}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{policarbonato-aire}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{este}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{mite}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{dibuje}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{esquema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{rayos}}\mathbf{\text{incidente,}}\mathbf{\text{reflejado}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{refractado}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{caso.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La moneda está en el centro de la cara posterior y la primera persona, en el punto medio de la cara opuesta: el rayo que las une es perpendicular a las caras y recorre los $2$ m de grosor del bloque. Los rayos que salen de la moneda hacia la derecha llegan a la cara frontal cada vez más inclinados respecto de la normal, y el último que consigue salir es el que incide con el ángulo límite.



Ese rayo forma con la normal —perpendicular a la cara frontal— un ángulo ${\theta }_L$, y el grosor del bloque es el cateto contiguo del triángulo rectángulo que forma:

$\tan {\theta }_L={\displaystyle \frac{d}{\mathrm{2,00}}}\Rightarrow d=\mathrm{2,00}\cdot \tan {\mathrm{39,3}}^{\circ }$

$d=\mathrm{2,00}\cdot \mathrm{0,8175}=\mathrm{1,64}\text{ m}$

Más allá de esa distancia el rayo llegaría a la cara con un ángulo mayor que el límite, no habría rayo refractado y toda la luz volvería al interior del bloque por reflexión total: eso es exactamente lo que le pasa a la segunda persona.

La segunda persona tendría que situarse a $\mathrm{1,64}$ m como máximo de la primera para poder ver la moneda.