Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Extremadura · 2025

Se desea obtener una imagen virtual cinco veces mayor que un determinado objeto.

a) Si se utiliza una lente convergente de 1 dioptría de potencia, determina las posiciones del objeto y de la imagen respecto a la lente. [1 punto]

b) Realiza un diagrama con el trazado de rayos. [0,75 puntos]

c) ¿Dónde habría que situar el objeto para obtener una imagen real? Razona tu respuesta. [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{utiliza}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{convergente}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{1}}\mathbf{\text{dioptr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{potencia,}}\mathbf{\text{determina}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{posiciones}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La potencia es la inversa de la distancia focal imagen expresada en metros:

$P={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{1}}=1\text{ m}$

La imagen debe ser virtual y cinco veces mayor. Una imagen virtual dada por una lente convergente es siempre derecha, de modo que el aumento lateral es positivo:

$\beta ={\displaystyle \frac{y^{\mathrm{\prime }}}{y}}={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}=+5\Rightarrow s^{\mathrm{\prime }}=5s$

Se lleva esta relación a la ecuación de las lentes delgadas:

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{5s}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{1}}$

${\displaystyle \frac{1-5}{5s}}=1\Rightarrow -{\displaystyle \frac{4}{5s}}=1$

$s=-\mathrm{0,8}\text{ m}$

$s^{\mathrm{\prime }}=5s=-4\text{ m}$

El objeto debe colocarse a $\mathrm{0,8}\text{ m}$ delante de la lente, es decir, entre el foco objeto y la lente, ya que la distancia focal es de 1 m. La imagen se forma a $4\text{ m}$ de la lente y del mismo lado que el objeto: los dos signos negativos son la marca de que la imagen es virtual.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Realiza}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{diagrama}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{trazado}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rayos.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$



Se trazan los tres rayos notables desde el extremo del objeto:

i) El rayo paralelo al eje óptico emerge de la lente pasando por el foco imagen $F^{\mathrm{\prime }}$.

ii) El rayo que pasa por el centro óptico $O$ atraviesa la lente sin desviarse.

iii) El rayo que sale en la dirección que pasa por el foco objeto $F$ emerge paralelo al eje óptico.

Los tres rayos emergentes divergen, así que no llegan a cortarse: lo que se corta son sus prolongaciones hacia atrás, dibujadas en trazo discontinuo. Ahí es donde se forma la imagen, que resulta virtual, derecha y mayor que el objeto. Es el funcionamiento de una lupa.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿D}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{nde}}\mathbf{\text{habr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{situar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{real?}}\mathbf{\text{Razona}}\mathbf{\text{tu}}\mathbf{\text{respuesta.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se despeja la abscisa de la imagen en la ecuación de las lentes delgadas:

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}+{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{s+f^{\mathrm{\prime }}}{f^{\mathrm{\prime }}s}}\Rightarrow s^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{f^{\mathrm{\prime }}s}{s+f^{\mathrm{\prime }}}}$

La imagen es real cuando $s^{\mathrm{\prime }}>0$. Con $f^{\mathrm{\prime }}=1\text{ m}$ y $s<0$, el numerador $f^{\mathrm{\prime }}s$ es negativo, así que el cociente solo es positivo si el denominador también lo es:

$s+f^{\mathrm{\prime }}<0\Rightarrow s<-1\text{ m}$

Habría que situar el objeto a más de 1 m de la lente, es decir, más allá del foco objeto. Es el resultado general: una lente convergente da imágenes reales e invertidas cuando el objeto está fuera de la distancia focal, y virtuales, derechas y mayores cuando está dentro, que es el caso del apartado a).