Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2025

Dos esferas conductoras, de radios $R_1=90\text{ cm}$ y $R_2=45\text{ cm}$, están cargadas de modo que sus superficies están a un potencial, respecto del infinito, de $V_1=10\text{ V}$ y $V_2=20\text{ V}$, respectivamente. Las esferas se encuentran en una zona del espacio vacío y con sus centros separados a gran distancia. Calcule la carga que quedará en cada esfera si ambas se unen mediante un conductor de capacidad despreciable. [1,25 puntos]

Dato: $K=9\cdot {10}^9\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{C}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{carga}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{quedar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{esfera}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{ambas}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{unen}}\mathbf{\text{mediante}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{conductor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{capacidad}}\mathbf{\text{despreciable.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

En un conductor esférico en equilibrio toda la carga se reparte por la superficie y el potencial vale, respecto del infinito,

$V=K{\displaystyle \frac{Q}{R}}\Rightarrow Q={\displaystyle \frac{VR}{K}}$

Con eso calculamos la carga de cada esfera antes de unirlas:

$Q_1={\displaystyle \frac{10\cdot \mathrm{0,90}}{9\cdot {10}^9}}=1\cdot {10}^{-9}\text{ C}{Q}_2={\displaystyle \frac{20\cdot \mathrm{0,45}}{9\cdot {10}^9}}=1\cdot {10}^{-9}\text{ C}$

$Q_{\text{total}}=Q_1+Q_2=2\cdot {10}^{-9}\text{ C}$

Al unirlas con el hilo forman un único conductor: la carga se redistribuye hasta que las dos superficies quedan al mismo potencial. Como están muy separadas, cada una sigue comportándose como una esfera aislada.



$V_1^{\mathrm{\prime }}=V_2^{\mathrm{\prime }}\Rightarrow K{\displaystyle \frac{q_1}{R_1}}=K{\displaystyle \frac{q_2}{R_2}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{q_1}{q_2}}={\displaystyle \frac{R_1}{R_2}}=2$

Junto con la conservación de la carga, $q_1+q_2=2\cdot {10}^{-9}\text{ C}$, queda

$q_1={\displaystyle \frac{R_1}{R_1+R_2}}{Q}_{\text{total}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,90}}{\mathrm{1,35}}}\cdot 2\cdot {10}^{-9}=\mathrm{1,33}\cdot {10}^{-9}\text{ C}$

$q_2={\displaystyle \frac{R_2}{R_1+R_2}}{Q}_{\text{total}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,45}}{\mathrm{1,35}}}\cdot 2\cdot {10}^{-9}=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-10}\text{ C}$

La esfera grande se queda con $\mathrm{1,33}$ nC y la pequeña con $\mathrm{0,67}$ nC, y el potencial común resulta

$V=K{\displaystyle \frac{q_1}{R_1}}=9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{1,33}\cdot {10}^{-9}}{\mathrm{0,90}}}=\mathrm{13,3}\text{ V}$

que está, como debe ser, entre los 10 V y los 20 V de partida: la carga ha fluido de la esfera pequeña (a mayor potencial) a la grande.