Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Cataluña · 2026

Los rayos X se generan mediante un tubo en el que se ha hecho el vacío y que contiene dos placas de tungsteno. La placa negativa (cátodo) se calienta y emite electrones, los cuales son acelerados hacia la placa positiva (ánodo). Al chocar contra esta otra placa, los electrones se detienen bruscamente y se generan los rayos X.



a) La diferencia de potencial entre dos placas de un tubo de rayos X es de 70,0 kV y la separación entre ellas es de 2,00 cm. Calcule el módulo del campo eléctrico (suponga que es constante y uniforme entre las placas) y, a continuación, el módulo de la fuerza eléctrica que experimenta un electrón dentro del tubo. En la figura adjunta, represente el campo eléctrico entre placas y la fuerza eléctrica que actúa sobre el electrón. [1,25 puntos]

b) Determine la energía cinética y la velocidad de un electrón cuando llega al ánodo, suponiendo que parte del reposo desde el cátodo. A continuación, sabiendo que en el choque con el ánodo el electrón pierde parte de su energía, que se transforma en un fotón de rayos X con una longitud de onda de 1,00 nm, calcule la energía de este fotón y la nueva velocidad del electrón después de la emisión. [1,25 puntos]

Nota: desprecie los efectos del campo magnético terrestre y los efectos relativistas.

Datos: $\mathrm{\mid }e\mathrm{\mid }=\mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}\text{ C}$; $m_e=\mathrm{9,11}\cdot {10}^{-31}\text{ kg}$; $c=\mathrm{3,00}\cdot {10}^8{\text{m s}}^{-1}$; $h=\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\text{ J s}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{dulo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\mathbf{\text{(suponga}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{constante}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{uniforme}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{placas)}}\mathbf{\text{y,}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{continuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{dulo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrica}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{experimenta}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{dentro}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tubo.}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{figura}}\mathbf{\text{adjunta,}}\mathbf{\text{represente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{placas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrica}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{act}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Entre dos placas planas y paralelas el campo es uniforme, y su módulo es la diferencia de potencial dividida por la separación.

$E={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }V}{d}}={\displaystyle \frac{\mathrm{70,0}\cdot {10}^3}{\mathrm{2,00}\cdot {10}^{-2}}}$

$E=\mathrm{3,50}\cdot {10}^6{\text{N C}}^{-1}$

La fuerza sobre una carga en un campo eléctrico es $\vec{F}=q\vec{E}$; en módulo, con la carga del electrón:

$F=\mathrm{\mid }e\mathrm{\mid }E=\mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}\cdot \mathrm{3,50}\cdot {10}^6$

$F=\mathrm{5,61}\cdot {10}^{-13}\text{ N}$

El campo eléctrico va siempre de la placa positiva a la negativa, es decir, del ánodo al cátodo. Como la carga del electrón es negativa, la fuerza que experimenta es antiparalela al campo y lo empuja del cátodo hacia el ánodo, que es justo lo que hace falta para acelerarlo.



El campo eléctrico entre las placas vale $\mathrm{3,50}\cdot {10}^6$ N/C y la fuerza sobre el electrón, $\mathrm{5,61}\cdot {10}^{-13}$ N, dirigida hacia el ánodo.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cin}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{llega}}\mathbf{\text{al}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nodo,}}\mathbf{\text{suponiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{parte}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{reposo}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{c}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{todo.}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{continuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{fot}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rayos}}\mathbf{\text{X}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{1,00}}\mathbf{\text{nm}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{nueva}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{despu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{emisi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

El trabajo de la fuerza eléctrica se invierte íntegramente en energía cinética, porque el electrón parte del reposo y no hay otras fuerzas.

$E_c=\mathrm{\mid }e\mathrm{\mid }\mathrm{\Delta }V=\mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}\cdot \mathrm{70,0}\cdot {10}^3$

$E_c=\mathrm{1,12}\cdot {10}^{-14}\text{ J}$

$E_c={\displaystyle \frac{1}{2}}{m}_e{v}^2\Rightarrow v=\sqrt{{\displaystyle \frac{2E_c}{m_e}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{1,12}\cdot {10}^{-14}}{\mathrm{9,11}\cdot {10}^{-31}}}}$

$v=\mathrm{1,57}\cdot {10}^8{\text{m s}}^{-1}$

La energía del fotón emitido se obtiene de la relación de Planck, escribiendo la frecuencia en función de la longitud de onda:

$E_{\text{fot}\acute{\text{o}}\text{n}}=h\nu ={\displaystyle \frac{hc}{\lambda }}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\cdot \mathrm{3,00}\cdot {10}^8}{\mathrm{1,00}\cdot {10}^{-9}}}$

$E_{\text{fot}\acute{\text{o}}\text{n}}=\mathrm{1,99}\cdot {10}^{-16}\text{ J}$

Esa energía sale de la energía cinética del electrón, así que la que le queda después del choque es la diferencia:

$E_c^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{1,1214}\cdot {10}^{-14}-\mathrm{1,989}\cdot {10}^{-16}=\mathrm{1,1015}\cdot {10}^{-14}\text{ J}$

$v^{\mathrm{\prime }}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{1,1015}\cdot {10}^{-14}}{\mathrm{9,11}\cdot {10}^{-31}}}}=\mathrm{1,56}\cdot {10}^8{\text{m s}}^{-1}$

El electrón llega al ánodo con una energía cinética de $\mathrm{1,12}\cdot {10}^{-14}$ J y una velocidad de $\mathrm{1,57}\cdot {10}^8$ m/s. El fotón de rayos X se lleva $\mathrm{1,99}\cdot {10}^{-16}$ J, apenas un $\mathrm{1,8}\mathrm{\%}$ de esa energía, y por eso la velocidad del electrón baja solo hasta $\mathrm{1,56}\cdot {10}^8$ m/s.