Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2026

Considere los puntos $A=(0,5,-1)$ y $B=(-3,11,-10)$, y la recta

$r:{\displaystyle \frac{x-3}{1}}={\displaystyle \frac{y+2}{-2}}={\displaystyle \frac{z}{3}}$

Responda a las siguientes cuestiones: [2,5 puntos]

a) Estudie la posición relativa de $r$ y la recta que contiene a $A$ y $B$. [0,5 puntos]

b) Calcule el área del triángulo formado por los vértices $A$, $B$ y un punto genérico de $r$. [1 punto]

c) Halle la ecuación general o implícita del plano que contiene a $r$ y $A$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{relativa}}\mathbf{\text{de}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{a}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{B}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

De las ecuaciones continuas de $r$ leemos directamente un punto y un vector director, y el vector director de la otra recta es el que va de $A$ a $B$.

$P(3,-2,0)\in r,\vec{u}=(1,-2,3)$

$\overrightarrow{AB}=B-A=(-3-0,11-5,-10+1)=(-3,6,-9)$

Comparamos las dos direcciones: las coordenadas del segundo son proporcionales a las del primero.

$\overrightarrow{AB}=-3(1,-2,3)=-3\vec{u}$

Los vectores directores son proporcionales, así que las rectas son paralelas o coincidentes. Para distinguirlo comprobamos si $A$ está en $r$.

${\displaystyle \frac{0-3}{1}}=-3,{\displaystyle \frac{5+2}{-2}}=-{\displaystyle \frac{7}{2}},-3\mathrm{\ne }-{\displaystyle \frac{7}{2}}$

Las dos rectas tienen la misma dirección pero $A$ no pertenece a $r$: son paralelas y distintas.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tri}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{formado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices}}\mathit{A}\mathbf{\text{,}}\mathit{B}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{gen}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rico}}\mathbf{\text{de}}\mathit{r}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El área de un triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus lados. Tomamos como tercer vértice un punto genérico de $r$, escrito en paramétricas.

$Q=(3+t,-2-2t,3t),t\in \mathbb{R}$

$\overrightarrow{AQ}=Q-A=(3+t,-7-2t,1+3t)$

Calculamos el producto vectorial con $\overrightarrow{AB}$ desarrollando el determinante simbólico.

$\overrightarrow{AQ}\times \overrightarrow{AB}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 3+t& -7-2t& 1+3t\\ -3& 6& -9\end{array}\mid =(57,24,-3)$

Los términos en $t$ se cancelan, y era de esperar: como $\overrightarrow{AQ}$ solo cambia en un múltiplo de $\overrightarrow{AB}$ al mover $Q$ por la recta, el producto vectorial no se entera. Geométricamente, la base $AB$ y la altura, que es la distancia entre las dos paralelas, son las mismas para todos los puntos de $r$.

$\mid \overrightarrow{AQ}\times \overrightarrow{AB}\mid =\sqrt{{57}^2+{24}^2+(-3{)}^2}=\sqrt{3249+576+9}=\sqrt{3834}=3\sqrt{426}$

$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\mid \overrightarrow{AQ}\times \overrightarrow{AB}\mid ={\displaystyle \frac{3\sqrt{426}}{2}}\approx \mathrm{30,96}$

El área vale $\frac{3\sqrt{426}}{2}\approx \mathrm{30,96}$ unidades cuadradas, y es la misma cualquiera que sea el punto de $r$ que se elija como tercer vértice.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{general}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{impl}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{cita}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{a}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathit{A}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Como $A$ no está en $r$, la recta y el punto determinan un único plano. Este queda fijado por el punto $P(3,-2,0)$ de la recta y por dos vectores independientes: el director de $r$ y el que une $P$ con $A$.

$\overrightarrow{PA}=A-P=(0-3,5+2,-1-0)=(-3,7,-1)$

El vector normal es el producto vectorial de ambos.

$\vec{n}=\vec{u}\times \overrightarrow{PA}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -2& 3\\ -3& 7& -1\end{array}\mid =(-19,-8,1)$

Cambiamos el signo, que sigue siendo normal al plano, y escribimos la ecuación imponiendo que pase por $P$.

$19(x-3)+8(y+2)-1(z-0)=0\Rightarrow 19x+8y-z-41=0$

Comprobamos que los tres puntos de referencia lo cumplen: para $A$, $0+40+1-41=0$; para $B$, $-57+88+10-41=0$; y para $P$, $57-16-0-41=0$.



El plano pedido es $19x+8y-z-41=0$, y por ser $r$ y $AB$ paralelas contiene también a la recta $AB$ entera.