Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Considere la siguiente función definida a trozos:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+3x+a^2& \text{si }x<1\\ {\displaystyle \frac{\ln x}{x}}+4a& \text{si }x\ge 1\end{array}$

donde $a\in \mathbb{R}$. Responda a las siguientes cuestiones: [2,5 puntos]

a) Calcule los valores de $a$ para los cuales $f(x)$ es continua en todo su dominio. [0,75 puntos]

b) Calcule las asíntotas de $f(x)$, en función de $a$. [0,75 puntos]

c) Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$. [1 punto]

Cada trozo es continuo allí donde está definido: el primero es un polinomio y el segundo es un cociente de funciones continuas cuyo denominador no se anula en $x\ge 1$. El único punto dudoso es $x=1$, donde cambia la definición, así que basta con igualar los dos límites laterales al valor de la función.

${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{-}}(x^2+3x+a^2)=1+3+a^2=a^2+4$

${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=f(1)={\displaystyle \frac{\ln 1}{1}}+4a=0+4a=4a$

Igualamos ambos resultados y resolvemos la ecuación de segundo grado que aparece.

$a^2+4=4a\Rightarrow a^2-4a+4=0\Rightarrow (a-2{)}^2=0\Rightarrow a=2$

La función es continua en todo su dominio, que es $\mathbb{R}$, únicamente para $a=2$; para cualquier otro valor de $a$ presenta en $x=1$ una discontinuidad de salto finito.



No hay asíntotas verticales: el dominio es todo $\mathbb{R}$ y en $x=1$, único punto conflictivo, los límites laterales son finitos, con lo que a lo sumo hay un salto. Estudiamos entonces el comportamiento en los dos extremos.

${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}f(x)={\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}(x^2+3x+a^2)=+\mathrm{\infty }$

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}f(x)={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}({\displaystyle \frac{\ln x}{x}}+4a)=0+4a=4a$

El límite en $+\mathrm{\infty }$ es finito porque $x$ crece mucho más deprisa que $\ln x$; si se prefiere, se aplica la regla de L'Hôpital al cociente y queda $1\mathrm{/}x\to 0$. Para descartar la asíntota oblicua en $-\mathrm{\infty }$ miramos la pendiente.

$m={\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{f(x)}{x}}={\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^2+3x+a^2}{x}}=-\mathrm{\infty }$

Al no ser finita, esa rama no tiene asíntota oblicua sino una rama parabólica.

Sea cual sea el valor de $a$, la función tiene una única asíntota, la horizontal $y=4a$ cuando $x\to +\mathrm{\infty }$, y una rama parabólica cuando $x\to -\mathrm{\infty }$.



Derivamos cada trozo por separado. Obsérvese que el parámetro desaparece al derivar, porque en ambos trozos entra como término constante: el crecimiento no depende de $a$.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\{\begin{array}{ll}2x+3& \text{si }x<1\\ {\displaystyle \frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x}{x^2}}={\displaystyle \frac{1-\ln x}{x^2}}& \text{si }x>1\end{array}$

En el primer trozo la derivada es una recta que se anula en $x=-\frac{3}{2}$, valor que sí pertenece a ese trozo.

$2x+3=0\Rightarrow x=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$

En el segundo el denominador es un cuadrado y no cambia el signo, así que este lo marca el numerador.

$1-\ln x=0\Rightarrow \ln x=1\Rightarrow x=e$

Evaluamos la derivada en un punto de cada tramo: $f^{\mathrm{\prime }}(-2)=-1<0$, $f^{\mathrm{\prime }}(0)=3>0$, $f^{\mathrm{\prime }}(2)=\frac{1-\ln 2}{4}>0$ y $f^{\mathrm{\prime }}(4)=\frac{1-\ln 4}{16}<0$.



La función decrece en $(-\mathrm{\infty },-\frac{3}{2})$, crece en $(-\frac{3}{2},1)$ y en $(1,e)$, y vuelve a decrecer en $(e,+\mathrm{\infty })$. Hay un mínimo relativo en $x=-\frac{3}{2}$ y un máximo relativo en $x=e$. El punto $x=1$ se deja fuera porque ahí la función no es derivable; solo cuando $a=2$, que es el caso continuo del apartado a), los dos intervalos de crecimiento se funden en uno solo, $(-\frac{3}{2},e)$.