Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2026

Un electrón es acelerado desde el reposo mediante una diferencia de potencial de 2 kV en el sentido positivo del eje X.

a) Calcule el vector velocidad del electrón. (1 punto)

Tras esa aceleración, el electrón penetra en una región donde existe un campo magnético uniforme $\vec{B}=100\vec{k}$ (G).

b) Determine el radio de la órbita que describe el electrón en centímetros y el tiempo que tarda en dar una vuelta completa en nanosegundos. (1 punto)

c) Dibuje un esquema que incluya la trayectoria del electrón con los vectores velocidad, campo magnético y fuerza magnética en un punto de dicha trayectoria. Razone si la energía cinética del electrón cambia mientras se mueve dentro del campo. (1 punto)

Datos: $m_e=\mathrm{9,11}\cdot {10}^{-31}\text{ kg}$; $\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{ C}$; $1\text{ G}={10}^{-4}\text{ T}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{vector}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El campo eléctrico que acelera al electrón es conservativo, así que el trabajo que realiza sobre él se invierte íntegramente en energía cinética. Partiendo del reposo:

$\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }\mathrm{\Delta }V={\displaystyle \frac{1}{2}}{m}_e{v}^2$

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }\mathrm{\Delta }V}{m_e}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\cdot 2000}{\mathrm{9,11}\cdot {10}^{-31}}}}$

$v=\mathrm{2,65}\cdot {10}^7\text{ m/s}$

Como el electrón se mueve en el sentido positivo del eje $X$:

$\vec{v}=\mathrm{2,65}\cdot {10}^7\vec{\mathrm{ı}}\text{ m/s}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{describe}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cent}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{metros}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tarda}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{dar}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{vuelta}}\mathbf{\text{completa}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{nanosegundos.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Primero se pasa el campo a unidades del SI.

$B=100\text{ G}=100\cdot {10}^{-4}\text{ T}={10}^{-2}\text{ T}$

La velocidad es perpendicular al campo, de modo que la fuerza magnética tiene módulo constante $\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }vB$ y hace de fuerza centrípeta.

$\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }vB={\displaystyle \frac{m_e{v}^2}{r}}\Rightarrow r={\displaystyle \frac{m_{e}v}{\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }B}}$

$r={\displaystyle \frac{\mathrm{9,11}\cdot {10}^{-31}\cdot \mathrm{2,65}\cdot {10}^7}{\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\cdot {10}^{-2}}}=\mathrm{1,51}\cdot {10}^{-2}\text{ m}=\mathrm{1,51}\text{ cm}$

El tiempo de una vuelta es el periodo del movimiento circular uniforme, que resulta independiente de la velocidad.

$T={\displaystyle \frac{2\pi r}{v}}={\displaystyle \frac{2\pi m_e}{\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }B}}={\displaystyle \frac{2\pi \cdot \mathrm{9,11}\cdot {10}^{-31}}{\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\cdot {10}^{-2}}}$

$T=\mathrm{3,58}\cdot {10}^{-9}\text{ s}=\mathrm{3,58}\text{ ns}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Dibuje}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{esquema}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{incluya}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{trayectoria}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{vectores}}\mathbf{\text{velocidad,}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{magn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tico}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{magn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{trayectoria.}}\mathbf{\text{Razone}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cin}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{cambia}}\mathbf{\text{mientras}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{mueve}}\mathbf{\text{dentro}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{campo.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El campo apunta en el sentido $+Z$, es decir, sale del plano $XY$, y la velocidad está contenida en ese plano, así que la trayectoria es una circunferencia contenida en el plano $XY$. La fuerza se obtiene del producto vectorial, teniendo en cuenta que la carga del electrón es negativa.

$\vec{F}=q_e(\vec{v}\times \vec{B})=-\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }(v\vec{\mathrm{ı}}\times B\vec{k})=+\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }vB\vec{\mathrm{ȷ}}$



En el instante de entrada la fuerza apunta hacia el sentido positivo del eje $Y$: el centro de la circunferencia queda por encima del electrón y este la recorre en sentido antihorario.

La energía cinética no cambia. La fuerza magnética es en todo instante perpendicular a la velocidad, de modo que su trabajo es nulo:

$W=\int \vec{F}\cdot d\vec{r}=0\text{porque}\vec{F}\perp d\vec{r}$

y por el teorema de las fuerzas vivas, si el trabajo es nulo la energía cinética no varía. El campo magnético solo cambia la dirección de la velocidad, nunca su módulo.