Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

Un reciente informe nacional revela que 2 de cada 5 jóvenes se encuentran en riesgo de dependencia digital como consecuencia del excesivo tiempo dedicado a las redes sociales. Ello deriva en frecuentes problemas de sueño, aislamiento, dificultades en el estudio y cambios de humor. Con objeto de identificar a los jóvenes en riesgo de padecer este tipo de dependencia, un equipo de investigadores de las universidades canarias ha elaborado un cuestionario psicológico. Se sabe que entre quienes realmente presentan este riesgo, el cuestionario ofrece un resultado positivo en el 95% de los casos y un resultado ambiguo en un 3%. En cambio, entre quienes no presentan riesgo, el cuestionario arroja un resultado positivo en 1 de cada 10 casos, y un resultado negativo en el 85% de los casos.

a) Construir el correspondiente árbol de probabilidades. [0,5 puntos]

b) Se ha pasado el cuestionario a un joven elegido aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que dé un resultado negativo? [0,75 puntos]

c) Si un joven ha dado positivo en el cuestionario, calcula la probabilidad de que presente realmente riesgo de dependencia digital. [0,75 puntos]

Nombrando los sucesos:

$D \equiv$ el joven presenta riesgo de dependencia digital

$P \equiv$ el cuestionario da un resultado positivo

$A \equiv$ el cuestionario da un resultado ambiguo

$N \equiv$ el cuestionario da un resultado negativo

Dos de cada cinco jóvenes están en riesgo, y en cada grupo los tres resultados posibles del cuestionario suman 1, lo que permite completar los datos que el enunciado no da directamente.

$P(D)=\dfrac{2}{5}=0{,}4\ ,\qquad P(\overline{D})=0{,}6$

$P(N\,|\,D)=1-0{,}95-0{,}03=0{,}02$

$P(A\,|\,\overline{D})=1-0{,}10-0{,}85=0{,}05$

$\textbf{a) Construir el correspondiente árbol de probabilidades. [0,5 puntos]}$





Las dos ramas de partida se han dibujado por separado para que se lean con claridad: de la raíz salen $D$ y $\overline{D}$, y de cada una de ellas los tres resultados del cuestionario con sus probabilidades condicionadas. Las seis ramas completas suman 1, como debe ocurrir al recoger todos los casos posibles.

$\textbf{b) Se ha pasado el cuestionario a un joven elegido aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que dé un resultado negativo? [0,75 puntos]}$

Los sucesos $D$ y $\overline{D}$ forman un sistema completo, así que se aplica el teorema de la probabilidad total sumando las dos ramas del árbol que terminan en $N$.

$P(N)=P(D)\cdot P(N\,|\,D)+P(\overline{D})\cdot P(N\,|\,\overline{D})$

$=0{,}4\cdot 0{,}02+0{,}6\cdot 0{,}85=0{,}008+0{,}51$

$P(N)=0{,}518$

La probabilidad de que el cuestionario dé un resultado negativo es $0{,}518$, es decir, algo más de la mitad de los jóvenes evaluados.

$\textbf{c) Si un joven ha dado positivo en el cuestionario, calcula la probabilidad de que presente realmente riesgo de dependencia digital. [0,75 puntos]}$

Se conoce el resultado de la prueba y se pregunta por el estado real del joven: se va del efecto a la causa y se aplica el teorema de Bayes. El denominador es la probabilidad total de dar positivo.

$P(D\,|\,P)=\dfrac{P(D)\cdot P(P\,|\,D)}{P(D)\cdot P(P\,|\,D)+P(\overline{D})\cdot P(P\,|\,\overline{D})}$

$=\dfrac{0{,}4\cdot 0{,}95}{0{,}4\cdot 0{,}95+0{,}6\cdot 0{,}10}=\dfrac{0{,}38}{0{,}38+0{,}06}$

$=\dfrac{0{,}38}{0{,}44}=\dfrac{19}{22}\approx 0{,}8636$

Si un joven da positivo en el cuestionario, la probabilidad de que presente realmente riesgo de dependencia digital es $0{,}8636$, un $86{,}36\ \%$. El cuestionario resulta bastante fiable en este sentido porque la dependencia es frecuente —afecta al $40\ \%$ de los jóvenes— y los falsos positivos del otro grupo son pocos.