Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Islas Baleares · 2026

Responda a y b.1 o b.2.

a) El movimiento armónico simple vertical de una masa a partir de $t=0$ se describe con $y(t)=5\text{ cm}\cdot \cos (\mathrm{3,7}t+25\mathrm{°})$ ($t$ en segundos).

(i) ¿Cuánto vale la velocidad vertical de la masa en $t=2\text{ s}$? [0,5 puntos]

(ii) ¿En qué primer instante la velocidad $v_y(t)$ es positiva y máxima? [0,5 puntos]

b.1) Con una lente de distancia focal de $+18$ cm, se proyecta sobre una placa la imagen del mural de Joan Aguiló de la fachada lateral del edificio Beatriu de Pinós (UIB). La fachada se encuentra a 1293 cm de la lente y su anchura proyectada sobre la placa mide 12 cm.

(i) Calcule la anchura de la fachada donde está pintado el mural. [1 punto]

(ii) Dada una lente delgada convergente con distancia focal $+18$ cm, ¿a qué distancias de la lente se puede situar un objeto para que se forme una imagen virtual? Con esta lente y según el criterio DIN, ¿qué valores puede tomar la variable $s$ que define la posición del objeto cuando la imagen es virtual? [0,5 puntos]

b.2) (i) Determine, a partir de la figura adjunta, el ángulo de incidencia con que el rayo de luz llega a la superficie inferior del vidrio de índice de refracción $n$. [0,5 puntos]



(ii) Desde el fondo de una cubeta con un líquido ($n=\mathrm{1,39}$), un rayo de luz se dirige hacia la superficie. Determine para qué valores del ángulo de incidencia el rayo no saldrá del líquido. [0,5 puntos]

(iii) Se vierte aceite ($n_o=\mathrm{1,46}$) sobre el líquido de la cubeta. Determine para qué valores del ángulo de incidencia en la superficie líquido-aceite el rayo no saldrá del aceite hacia el aire. [0,5 puntos]

Datos: $n_1\sin ({\theta }_1)=n_2\sin ({\theta }_2)$; criterio DIN para lentes delgadas, ${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}$ y $M_T={\displaystyle \frac{y^{\mathrm{\prime }}}{y}}={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}$.

La velocidad es la derivada de la elongación respecto del tiempo. La fase inicial está en grados y la pulsación en radianes por segundo, así que conviene pasarlo todo a radianes.

${25}^{\circ }=\mathrm{0,4363}\text{ rad}$

$v_y(t)={\displaystyle \frac{dy}{dt}}=-5\cdot \mathrm{3,7}\mathrm{sen}(\mathrm{3,7}t+\mathrm{0,4363})=-\mathrm{18,5}\mathrm{sen}(\mathrm{3,7}t+\mathrm{0,4363})$

Se sustituye el instante pedido, con la calculadora en radianes.

$\mathrm{3,7}\cdot 2+\mathrm{0,4363}=\mathrm{7,8363}\text{ rad}$

$v_y(2)=-\mathrm{18,5}\mathrm{sen}(\mathrm{7,8363})=-\mathrm{18,5}\cdot \mathrm{0,9999}$

$v_y(2)=-\mathrm{18,5}\text{ cm/s}=-\mathrm{0,185}\text{ m/s}$

A los 2 s la masa baja a 18,5 cm/s; el signo negativo indica el sentido del movimiento y el valor, prácticamente el máximo posible, dice que en ese instante pasa muy cerca de la posición de equilibrio.



La velocidad es máxima y positiva cuando el seno de la expresión anterior vale $-1$, porque va precedido de un signo menos.

$\mathrm{sen}(\mathrm{3,7}t+\mathrm{0,4363})=-1\Rightarrow \mathrm{3,7}t+\mathrm{0,4363}={\displaystyle \frac{3\pi }{2}}=\mathrm{4,7124}$

$t={\displaystyle \frac{\mathrm{4,7124}-\mathrm{0,4363}}{\mathrm{3,7}}}$

$t=\mathrm{1,16}\text{ s}$

El primer instante en que la velocidad es positiva y máxima es $t=\mathrm{1,16}$ s, y en él vale 18,5 cm/s, que es la velocidad máxima del movimiento, $A\omega$.

$\mathbf{\text{b.1)}}\mathbf{\text{(i)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{anchura}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fachada}}\mathbf{\text{donde}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{pintado}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{mural.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se aplica el criterio DIN: la luz va de izquierda a derecha, el objeto está a la izquierda de la lente y por eso su posición es negativa.

$s=-1293\text{ cm};f^{\mathrm{\prime }}=+18\text{ cm}$

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{18}}+{\displaystyle \frac{1}{-1293}}$

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}=\mathrm{0,055556}-\mathrm{0,000773}=\mathrm{0,054782}\Rightarrow s^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{18,25}\text{ cm}$

El aumento lateral es el cociente de las dos posiciones.

$M_T={\displaystyle \frac{y^{\mathrm{\prime }}}{y}}={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}={\displaystyle \frac{\mathrm{18,25}}{-1293}}=-\mathrm{0,01412}$

$y={\displaystyle \frac{y^{\mathrm{\prime }}}{M_T}}={\displaystyle \frac{12}{-\mathrm{0,01412}}}=-850\text{ cm}$

La fachada mide 850 cm de ancho, es decir, 8,50 m. El signo negativo del tamaño solo indica que la imagen sale invertida respecto del objeto, como corresponde a una imagen real.



Con una lente convergente la imagen es virtual cuando el objeto está entre la lente y el foco objeto. Se comprueba con la ecuación de las lentes: la imagen es virtual si $s^{\mathrm{\prime }}<0$.

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}+{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{18}}+{\displaystyle \frac{1}{s}}<0\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{s}}<-{\displaystyle \frac{1}{18}}$

$-18\text{ cm}<s<0$

El objeto tiene que estar a menos de 18 cm de la lente, es decir, con la variable $s$ del criterio DIN tomando valores entre $-18$ cm y 0. La imagen que se obtiene entonces es virtual, derecha y mayor que el objeto: es el uso de la lente como lupa.

$\mathbf{\text{b.2)}}\mathbf{\text{(i)}}\mathbf{\text{Determine,}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{figura}}\mathbf{\text{adjunta,}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{incidencia}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{luz}}\mathbf{\text{llega}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{inferior}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{vidrio}}\mathbf{\text{de}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ndice}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{refracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathit{n}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El transportador está apoyado por su canto en la cara superior del vidrio, de modo que la escala mide los ángulos desde esa superficie y la marca de 90° coincide con la normal. El rayo que sale del vidrio corta la escala en la división 55.

$\theta ={90}^{\circ }-{55}^{\circ }={35}^{\circ }$

La lámina es de caras planoparalelas, así que el rayo que sale por arriba es paralelo al que entró por abajo y los dos forman el mismo ángulo con la normal.

${\theta }_{\text{incidencia}}={35}^{\circ }$

El rayo llega a la cara inferior del vidrio con un ángulo de incidencia de 35°.



El rayo pasa de un medio más refringente a otro menos refringente, así que existe ángulo límite: a partir de él hay reflexión total y la luz no sale. El ángulo límite es aquel para el que el rayo refractado sale rasante, con 90°.

$n\mathrm{sen}{\theta }_L=1\cdot \mathrm{sen}{90}^{\circ }\Rightarrow \mathrm{sen}{\theta }_L={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,39}}}$

${\theta }_L=\arcsin (\mathrm{0,7194})={\mathrm{46,0}}^{\circ }$

$\theta \ge {\mathrm{46,0}}^{\circ }$

Para ángulos de incidencia iguales o mayores que 46,0° el rayo no sale del líquido: se refleja totalmente en la superficie.



Ahora hay dos superficies. Para que el rayo no salga al aire, en la superficie aceite-aire tiene que alcanzarse el ángulo límite de ese par.

$\mathrm{sen}{\theta }_o={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,46}}}\Rightarrow {\theta }_o={\mathrm{43,2}}^{\circ }$

Se traslada esa condición a la primera superficie con la ley de Snell entre el líquido y el aceite.

$\mathrm{1,39}\mathrm{sen}\theta =\mathrm{1,46}\mathrm{sen}{\theta }_o=\mathrm{1,46}\cdot \mathrm{0,6849}=1$

$\mathrm{sen}\theta ={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,39}}}\Rightarrow \theta ={\mathrm{46,0}}^{\circ }$

$\theta \ge {\mathrm{46,0}}^{\circ }$

El resultado es exactamente el mismo que sin aceite. La capa intermedia no cambia nada: al encadenar las dos leyes de Snell, el índice del aceite se simplifica y solo cuentan los medios extremos, el líquido y el aire.