Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

Una marca de bolsos comercializó tres modelos la pasada primavera. El 3 % del total de bolsos fabricados salieron defectuosos. Por otra parte, el 30 % de todos los bolsos fabricados eran de tipo A; el 35 %, de tipo B y el resto, de tipo C. Además se sabe que el 3 % de los de tipo A y el 5 % de los de tipo C salieron defectuosos.

a) Elegido al azar un bolso entre los de tipo B, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuoso? [1,5 puntos]

b) Elegido un bolso al azar entre los defectuosos, ¿es más probable que sea de tipo A o de tipo B? [1 punto]

$\textbf{a) Elegido al azar un bolso entre los de tipo B, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuoso? [1,5 puntos]}$

Se nombran $A$, $B$ y $C$ los tres modelos y $D$ el suceso «sale defectuoso». Los datos son

$P(A)=0{,}30\qquad P(B)=0{,}35\qquad P(C)=0{,}35$

$P(D)=0{,}03\qquad P(D|A)=0{,}03\qquad P(D|C)=0{,}05$

La incógnita es $P(D|B)$, y la ecuación que la contiene es la del teorema de la probabilidad total:

$P(D)=P(A)\,P(D|A)+P(B)\,P(D|B)+P(C)\,P(D|C)$

$0{,}03=0{,}30\cdot0{,}03+0{,}35\cdot P(D|B)+0{,}35\cdot0{,}05$

$0{,}03=0{,}009+0{,}35\,P(D|B)+0{,}0175$

$0{,}35\,P(D|B)=0{,}03-0{,}0265=0{,}0035$

$P(D|B)=\frac{0{,}0035}{0{,}35}=0{,}01$

Solo un $1\ \%$ de los bolsos de tipo B sale defectuoso: es el modelo que mejor se fabrica de los tres.

$\textbf{b) Elegido un bolso al azar entre los defectuosos, ¿es más probable que sea de tipo A o de tipo B? [1 punto]}$

Se aplica el teorema de Bayes a los dos modelos, con el mismo denominador $P(D)=0{,}03$:

$P(A|D)=\frac{P(A)\,P(D|A)}{P(D)}=\frac{0{,}30\cdot0{,}03}{0{,}03}=\frac{0{,}009}{0{,}03}=0{,}30$

$P(B|D)=\frac{P(B)\,P(D|B)}{P(D)}=\frac{0{,}35\cdot0{,}01}{0{,}03}=\frac{0{,}0035}{0{,}03}=0{,}117$

Es bastante $\textbf{más probable que sea de tipo A}$: casi el triple. La razón es doble: el tipo A tiene una tasa de defectos tres veces mayor que el B, y eso pesa más que la ligera diferencia de producción a favor del B.

Como comprobación, el tercer modelo se lleva el resto:

$P(C|D)=\frac{0{,}35\cdot0{,}05}{0{,}03}=0{,}583$

y en efecto $0{,}30+0{,}117+0{,}583=1$: más de la mitad de los bolsos defectuosos son de tipo C.